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令和8年度 中3数学 因数分解全パターン
【1】 共通因数のくくり出し
因数分解の基本。 最初に必ずこれを考える。
例 4ax+2bx = 2x(2a+b)
2xx2a 2xxb 2xが共通因数
例 9ax2+6ax-3a=3a(3x²-2x-1)
3a が共通因数
※右辺を展開すると左辺に戻るかどうかで確認できる

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【2】公式1′の利用
かけて最後の数、 たして真ん中の数になる2組の数をさがす。
例 x2 +7x +6=(x+1)(x+6)
例
(+1)+(+6)
(+1)x (+6)
a²-a-30=(a-6)(a+5)
(6)+(+5) (-6)x(+5)

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【2】公式2′・3′の利用しないけど
かけて最後の数、 たして真ん中の数になる2組の数をさがし、
2乗でくくる。
苦手な子は教科書のやり方より
これのほうがいいよ!
例
x 2 +10x +25 =(x+5)(x+5)
(+5)x (+5)= +25
= (x+5)2
(+5)+(+5)= +10
例 y2-2y +1
=(y-1)(y-1)
(−1)x(-1) = +1
=(x-1)2
(-1)+(-1) = -2

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【3】 くくり出し&公式の利用
共通因数があるときはまずそれをくくり出し、 かっこの中をさらに
因数分解できることがある。
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3ax²-6ax-9a=3a(x²-2x-3)
3a(x²-2x-3)
くくり出し
=
=3a(x+1)(x-3)
公式1、
45 ab²-4a
= a(b2-4)
= a(b2-22)
くくり出し
= a(b+2)(b-2
★ 公式4´

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【4】 単項式の置きかえ
よ~く目を凝らして見たとき、式の一部をひとまとまりとみなす
ことで、 因数分解の公式を利用できることがある。
例 x2 +9xy +20y2
= x 2 + (4y +5y)x+4y×5y
= x2+(a+b)x+axb
=(x+a)(x+b)
=(x+4y)(x+5y)
4y=a 5y=b
とみなすと
公式1′が使える

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【2】 公式4′の利用
○2-□2 の形になっている場合、 2乗をとって和と差の積
で表す。
真ん中の項がない
例 x2 - 49 =x2-72
=(x+7)(x-7)
位取り注意
51 a² -0.09 = a² -0.3²
例
=
=(a+0.3)(a-0.3)
いぢわるな問題
4x²-100を因数分解しなさい。
正 4x2-100
=4(x2-25)
誤 4x2-100
=(2x)2-102
=
(2x+10)(2x-10)
=4(x2-52)
=
4(x+5)(x-5)
くくり出しをしてから
公式を利用する
共通因数の“2” が
まだ残ってるからダメ

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【5】 多項式の置きかえ
よ~く目を凝らして見たとき、式の一部をひとまとまりとみなす
ことで、因数分解の公式を利用できることがある。
(x-7)²+4(x-7)+3.
例
= A² + 4A +3
x-7をAとみなすと
公式1′が使える
=(A+1)(A+3)
={(x-7)+1}{(x-7)+3}
=(x-6)(x-4)
ちゃんと元に戻そう

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【6】 ニコニコ (2個2個) パターン
いちばん気づきづらいやつ。 前2個と後ろ2個に注目すると
共通な多項式が現れるのでそれらをくくり出す。
例 ab + α + 2b + 2
前2個、 後ろ2個に分ける
= (ab+a)+(2b+2)
前は aで、後ろは2でくくり出す
=
a(b + 1) + 2(b + 1)
共通な b + 1 を X とおく
= aX + 2X
=X(a+2)
=
(b + 1)(a + 2)
共通因数 Xをくくり出す
Xを元に戻しておしまい
※慣れてきたら置きかえずにやってみよう♪