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X7 台形 OACB があり, OA // BC, OA = 2BC である。 辺 OA を 1:3に内分する点を D, 辺 OB を 2:1 に内分する点 をEとし,直線 AE と直線 CD の交点をPとする。 a また, OA=d. OB=bとする。 (1) OC を a, b を用いて表せ。 OCを OPを (2) OP a, b を用いて表せ。 (3) OA = OB = 2, AE⊥CD のとき, 内積 α・bの値と線分 OP の長さをそれぞれ求めよ。 (配点 40)
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令和7年度 総合学力記述模試・7月 高3@自学 ~ベクトル~ (1) OC を a, b を用いて表す。 > OC = OB + BC B C (1) E = OB+· OA 2 (2) P = 1 2 → a+b A (3) D
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(2)OP (2) OPをa,b を用いて表す。 1 ▷ 準備 OD = a, OE = -b 2 4 3 ▷ △OAE で, EP:PA= s:(1-s)とすると → 2 2直線の OP = sOA + (1-s)OE = sa +=(1-s)b 3 ▷ △OCD で, DP:PC = t: (1-t)とすると ← 交点 ・① OP=(1-1)OD+10C=12(1-1)a+1x1/2a+b) == 4 1 4 (3-1)atib ② 0000 ▷ a とは一次独立だから, ①と②の係数を見くらべて 2 8 = 1½ (1+1), —— (1-3)=1 S= よって 4 5 S= 14 3 -- 7 3 s) t B ① E 5 S=- 14 OP を①に代入すると 5 → 3 = a+-b 14 7 2 C 1-t/ S P 1-s t A 3 D
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(3) OA = OB = 2, AE⊥CD
.
内積 a b の値を求める。
AE・CD = 0 より
←
(OE-OA) (OD-OC)=0
→
·· —²¯à) · {±à¯‹ã + b)} = 0
::
2
b-a)
4
b
+
-a+b)
b)=0
1
ベクトルの
垂直条件
+ab=0
12
→
a. ・b
-
|a|=|6|=2より
10-
→ →→
a.b
12
1
2x22+-x22+0.6=0
--
3
B
C
.
: a b = 2
①
E
線分 OP の長さを求める。
2
5
3
| OP |2 = |
-a += b |²
P
14
1
142
=
=
1
142
1
142
22
· | 5a + 6b |²
(25a2+60a.b+36162)
-(25 x 22 + 60×2+36×22)
x91
142
OP > 0 より
√91
| OP |=
7
2
A
(3)
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