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X40を原点とする座標平面上に, 円 C:x2 + (y-a)²=9 (aはa>3を満たす定数) があり,円Cの中心をAとする。 原点 0 から円Cに接線を引き, 第1象限にある接点をBとすると, OB = 4 である。 (1) 線分 AB の長さを求めよ。 また, αの値を求めよ。 (2)直線 OB の方程式を求めよ。 また, 点Bの座標を求めよ。 (3) 直線 AB の方程式を y=mx+n(m, nは定数)とし, 連立 y ≧mx+n 不等式 の表す領域をDとする。 点(x, y) x2 +(y-a)^ ≦9 が領域D内を動くとき, 2x+yの最小値を求めよ。 (配点 40)
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令和7年度 総合学力記述模試 ・7月 ~図形と方程式~ 高3@自学 (1) C:x2+(y-a)²=9 (a>3) 中心 (0, α) 半径3 → a) 線分ABの長さを求める。 AB の長さは円Cの半径と等しいので AB = 3 αの値を求める。 AB = 3, OB = 4 だから, 直角三角形 OAB で三平方の定理 により OA = √AB2 + OB2 V32 +42 = 5 = 点Aのy座標 a は OA の長さと等しいから a=5 y▲ A 3 14 B X
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(2) C:x2+(y-5)2=9 直線 OBの方程式を求める。 OB:y=kx とおく。 点A(0, 5) と直線kx-y=0 との距離が3だから |k.0-5| = 3 → 3√k² +1 = 5 → 9(k² +1) = 25 k2 +(-1)2 4|3 k>0より k = 4 よって, 直線 OBの方程式は y= x 3 点 B(接点)の座標を求める。 4 y=-xをx2+(y-5)2=9に代入すると 3 .4 x+ (2x-5)2=9 ← 25x2-120x + 144 = 0 …. (5x−12) = 0 12 : x = 5 4 4 12 16 これをy=-xに代入して y=-x 3 3 5 5 12 16 よって, 点 B の座標は B( , 5 5
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y (3) ≧mx+n [x2+(y-5)2≦9 2x + yの最小値を求める。 2x+y=t E とおくと, y=-2x+t ...... ① B t 3 また, 直線 AB の傾きは 4 -x(-1) 3 X よって, 直線①の傾きは直線AB の傾きより小さいので, 直線①が点Eを通るときに t, すなわち 2x + yは最小となりそう。 12 16 ここで,点E の座標を求める。 A(0, 5), B( -)で, , 5 5 12 点EはAに関して点 Bと対称な点だからE( , 5 34 5 。 したがって, 2x +yの最小値は 12 34 2x+y=2x + |= 2 5 5
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