ページ3:

2
実数 α > 1 とする。 座標平面において、 点A と B は関数 y = α* のグラフ上に
あり、点CとDはx軸上にある。 放物線の焦点は線分ABの中点Fであり、
Fはy軸上にある。 点Pは上にあり、 AABC と AFPD はともに正三角形であ
る。 線分AF DFはそれぞれと点 Q R で交わっている。 ∠AOBは直角で
あり、 0は原点とする。 また、 線分 PF、 RF および♪で囲まれた領域をΩと
し、点Q における I の接線をLとする。 (20点)
(1) a の値を求めよ。
(2) 内積APBP の値を求めよ。
(3) 点Cは直線L上にあることを示せ。
(4) 領域Ωの面積を求めよ。

ページ4:

3
座標平面において、だ円r: 123+2/2=1と双曲線x2-2/2=1が焦点AとBを
共有し、点Cで交わっている。 ただし、AC < BC である。 点IをAABC の内心
とし、 AABIの外接円 Ω と線分BCの交点をDとする。 また、 点IにおけるΩ
の接線は、線分AC、BC とそれぞれ点E、Fで交わっている。 線分ADと線分
BI の交点をHとする。 点Pは上にあり、 AABP の内心と重心をそれぞれ点
Qと点Gとし、線分 GQ の中点を点 M とする。 (20点)
(1) 線分 IC の長さを求めよ。
(2) 四角形 ADFE の面積を求めよ。
(3) tan ∠AHI の値を求めよ。
(4) 点PがIを動くとき、 点Mの軌跡がだ円であることを示せ。

ページ5:

4
実数a > 2 とし、f(x) = ∫^(t2 - at + 1) dt とする。f(2) = 0 が成り立つとき、
座標平面において、関数y= Saf(t) dt のグラフをIとする。直線L:y=yo は
Tと点P(x0,yo)で接している。 ただし、 yo >0である。(20点)
(1) α の値を求めよ。
(2) 方程式 f(x) =0のすべての実数解を求めよ。
(3)Fとx軸は3つの交点をもつことを示せ。
(4) yo は Saf(t) dt の極大値であることを示し、xo および yo の値を求めよ。

ページ6:

5
複素数平面において、
4π
3π
5
点A(0)、点B(2cos-isin / 点C(4cos/5
・cos
- 4icos of sin 号)、
2
5
5
πT
点D(4cos of cos 2-4icos / sin z)、点E(2cos - 2isin-z)とする。
5
線分CE の中点をFとし、点P (w) は線分DE上にある。 線分BP と CE の交点
はFである。また、 複素数平面上の点Qは、 AAPQ が正三角形となるように
とる。さらに、点M (aw)、 N(βw)とし、 AAMNの内心を1とする。ただし、
a= 1/2 + 1/2 はBの共役複素数である。(20点)
(1)点Aは APMN の外心であることを示せ。
(2) AIMN≡APMN であることを示せ。
(3) tan∠AFP cot / AFC の値を求めよ。
(4) AAPQ の面積を求めよ。

ページ7:

正答
1
(1)(略)
(2)
15
2
(1)√2+√3
(2) 9-
(3) (略)
V231
(3)
21
7√√√3
(4)(略)
(4)
9
3
(1) 3√2-√10
(2) 12√5-26+
(3)
V5-1
2
(4)(略)
5
セ
(1)(略).
(2)(略)
(3)3 -V5F
(4)
-
13√3+3V15
10
4
(1)√15-1
(2) x = 2 またはx=√15-1またはx=
(3)(略)
←
(4)(略)、xo = 2かつyo=7v15-27e
'15-5
2
P