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B4 多項式P(x)があり,P(x)はx-1で割り切れ, x+2で割った 余りが9である。 ただし, P(x)のすべての項の係数は実数である。 (1) P(1), P-2) の値をそれぞれ求めよ。 (2) P(x)をx²+x-2で割った余りを求めよ。 (3) P(x)は3次の項の係数が1である3次式であり,方程式 P(x) =0が異なる実数解をちょうど2個もつ。 P(x) を求めよ。 (配点 20)
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令和7年度 総合学力記述模試 ・7月 ~高次方程式~ 高2@自学 (1) 剰余の定理により P(1) = 0 P(-2) = 9 (2) » P(x)をx²+x-2で割ったあまりを ax + b とおくと P(x)=(x-1)(x+2)Q(x) + ax + b と表される。 高々1次式 P(1) = 0 より ax1+b=0 : a+b=0 ・① P(-2) =9より ax(-2)+b=9 ∴-2a+b=9 ①と②を連立方程式として解くと よって, あまりは-3x+3 ② a = -3,b=3
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(3) P(x) =0は異なる実数解をちょうど2個もつから P(x)=(x-α)2(x-β) と表され, P(x)はx-1で割り切れるから ⑦ P(x)=(x-1)(x-β) ① イ P(x)=(x-α)2(x-1) の二通り考えられる。 P(-2)=9のときのβとαをそれぞれ求めてみると (-2-1)^(-2-β)=9 :β=-3 P(x)=(x-1)2(x+3)だからx=1とx=-3 の実数解をもつのでおk。 イ (-2-α)^(-2-1) = 9 a^+ 4a + 7 = 0 D<0 この2次方程式は実数解を持たないので 不適。 アとイより P(x)=(x-1)(x+3)(P(x) = x3+x2-5x+3)
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