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267aを定数とし, f(x) = 8' +8¯-3a(4+4¯*)+3(2" + 2¯)と
する。 f(x) を最小にするαの値と,そのときの最小値を求めよ。
[横浜国大]

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解答例 計算ミスってたらごめんなさい(・ω・)
267aを定数とし, f (x) = 8' +8 -3a(4* +4¯*)+32 + 2¯*)と
する。 f(x) を最小にするxの値と,そのときの最小値を求めよ。
t=2" + 2 とおく。
2">0,20であるから相加平均・相乗平均により
t=2+2*≧2V/2.2 = 2
等号成立条件は2"=2
また
t≥2
∴x=0
[横浜国大]
8* +8¯* = (2* +2*) ³ −3·2* ·2¯* (2* +2¯*)=t³ −3t
4*+ 4 = (2' + 2-2-2-2' ・2=12-2
よって
f(t)=(t3-3t)-3a(t2 - 2) + 3t
=13-3at2+6a
f'(t)=3t2-6at=3t(t-2a)=0よりt=0, 2a
t≧2だから2a≦2と2 <2aで場合分け。
ア) 2a≦2, すなわち a ≦1 のとき, f(t) の増減表は
t
2
...
t=2(x=0)で最小となり,
f'(t)
+
最小値は-6a + 8
f(t) -6a+8
7
イ) 2<2a,すなわち1<a のとき, f(t)の増減表は
t
2
f'(t)
f(t) -6a+8
2a
0
+
-4a3+6a
7
t = 2aで最小となり, 最小値は-4a3+6a
ここで, 2" + 2 = 2aを解く。 2" = X ( X> 0) とおくと
1
X+=2a
.. X2 - 2aX + 1 = 0
X
∴.X =
2a±√4a²-4
-=a±√a² −1
2
1 <aよりこれらはともに X >0を満たすので, 元に戻すと
2
2* = a±√a²-1
両辺に底2の対数をとると
アイより
a≦1のとき x=0
x = log2(a±√a² -1)
で最小値-6a+ 8
1<aのとき x=log2(a±√a2-1) で最小値-4a3+6a
をとる。