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(1)θ=π/4を代入します。
y=sin(2×π/4)-(√2)×{sin(π/4)-cos(π/4)}+3
=sin(π/2)-(√2)×{sin(π/4)-cos(π/4)}+3
ここで、
π/2→90°→単位円をかくとsin(π/2)=1とわかる。
π/4→45°→45°の直角三角形(1:1:√2)を考えてsin(π/4)=1/√2, cos(π/4)=1/√2
よって、
y=sin(π/2)-(√2)×{sin(π/4)-cos(π/4)}+3
=1-(√2)×{(1/√2)-(1/√2)}+3
=1-(√2)×0+3
=1-0+3
=4
(2)関数の形が複雑なので1つの文字で表して簡単な形にしたい。
x=sinθ-cosθとおく。
sinθ-cosθは変域が決まっているので、
xの変域も求める。変域を求めやすいように式を変形する→sinθ, cosθをひとつにまとめるために三角関数の合成を使う。
三角関数の合成: 和の公式を逆向きに利用する
sin(θ+α)=sinθcosα+cosθsinα
↓両辺r倍
↓(sinθ,cosθの係数が1以上をとれるように)
rsin(θ+α)=rsinθcosα+rcosθsinα
ここで、右の式がsinθ-cosθとなる場合を考えればいいので、
rcosα=1, rsinα=-1である。この直角三角形の辺の比を考えると、底辺:高さ=1:(-1)
すなわち1:1:√2の直角三角形で、高さが0より下になっているから、角度は-45°になる。すなわちα=-π/4とわかる。また、このとき斜辺は√2だからr=√2である。
三角関数の合成の式(和の公式の逆)より、
rsinθcosα-rcosθsinα=rsin(θ+α)
sinθ-cosθ=(√2)sin(θ-π/4)
x=(√2)sin(θ-π/4)
このときx=(√2)sin(θ-π/4)のとれる範囲を考え、
0≦θ＜2πのとき-π/4≦θ-π/4＜7π/4だから、単位円をかくと
-1≦sin(θ-π/4)≦1
がわかり、各辺√2倍すれば
-√2≦(√2)sin(θ-π/4)≦√2
すなわち
-√2≦x≦√2
とわかる。
次にy=sin2θ-(√2)(sinθ-cosθ)+3をxで表すことを考える。単純にsinθ-cosθ=xを代入すると、
y=sin2θ-(√2)x+3
お手数をおかけしてすみません🙇🏻♀️🙇🏻♀️
大変わかりやすく回答していただき本当にありがとうございます🙏🏻🙇🏻♀️
理解出来ました😊