Question

‪か

A∪B=A は A∩B=B であるための必要十分条件である。

なぜ必要十分条件なんですか？？🙇‍♂️

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

KONTON

A∪B=A ということは、AとBの要素を全て合わせるとAの要素しかない、つまり、Bには要素が何もないということです。
また、A∩B=Bということは、上述した通り、Bには何も要素がありませんから、AとBに共通要素は全くないということです。
また、これに関して、
A∩B=BならばA∪B=Aである。という命題を考えると、
A∩B=B について、AとBの共通要素はBと完全に一致しますから、
A=B、もしくは、Bは何の要素も持たない空集合であると考えることができます。
これを前提に、A∪B=A を考えると、A=B,もしくは、Bは空集合であるということから、AとBの要素を足したものは確かにAの要素と一致することがわかります。
必要十分条件というのは、表についても逆についても真である命題のことを言いますから、上述した通り、表も逆も真であるこの命題は必要十分条件です。