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円の方程式から 中心(1,1) 半径3 の円であることがわかる。
点(4,6)を通る直線の方程式を a(x-4) + b(y-6) = 0 とする。
ax + by - 4a - 6b = 0
円に接するということは、円の中心(1,1)からの距離が 半径=3 と等しいので、
距離の公式より
d = |a*1 + b*1 - 4a - 6b|/√(a²+b²) = 3
|-3a - 5b| = 3√(a²+b²)
両辺を2乗すると
9a² + 30ab + 25b² = 9(a² + b²)
30ab + 16b² = 0
b(15a + 8b) = 0
∴ b = 0 または 15a + 8b = 0
b = 0 のとき
a(x-4) = 0 ∴ x = 4
※ a=0 は 直線にならないので不適
15a + 8b = 0 のとき
a≠0,b≠0 として
a = -8/15*b より
-8/15*b(x-4) + b(y-6) = 0
-8(x-4) + 15(y-6) = 0
-8x + 32 + 15y - 90 = -8x + 15y - 58 = 0
∴ 8x - 15y + 58 = 0
ありがとうございます！