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方程式f(x,y)=0およびg(x,y)=0で表される2つの図形が交わるとして、交点の座標を(x₀, y₀)とすると、交点は2つの図形の方程式を同時に満たす点であるから、
f(x₀, y₀)=0かつg(x₀, y₀)=0
ここで、
h(x,y)=f(x,y)+kg(x,y)
という関数hを考えると、
f(x₀, y₀)=0かつg(x₀, y₀)=0より
kの値によらず常に
h(x₀, y₀)=f(x₀, y₀)+kg(x₀, y₀)=0
となることは容易に確認できる。したがって、点(x₀, y₀)は方程式h(x, y)=0を必ず満たすので、逆に方程式h(x, y)=0で表される図形は、2つの図形の交点(x₀, y₀)を通ると言える。
まとめると、
方程式f(x,y)+kg(x,y)=0で表される図形は、
f(x,y)=0とg(x,y)=0の交点を必ず通る。
方程式f(x,y)+kg(x,y)=0で表される図形のうち、別の一点(a, b)を通る図形については
f(a,b)+kg(a,b)=0
k=-f(a,b)/g(a,b)
となるので、
方程式 f(x, y) - g(x, y)f(a, b)/g(a, b) = 0
で表される図形は、2つの図形f=0,g=0の交点と点(a,b)を通る。
この方法で、条件を満たす図形の方程式が十分に求められることがわかります。
本質とまでは言えませんが、一応の説明です。本質についてはもう少し考えてみます。考えがまとまったらもう一回説明させてください。とりあえず今はここまでで。
返信遅くなって申し訳ないです。
こんなに丁寧に回答してくださって、本当に本当にありがとうございます🙇🏻♀️
ネットにどこにも載っていなかったのに、証明を考えてくれる心と数学力尊敬致します。
2個の回答のうちの1つ目はお陰様で理解出来たのですが、私の理解力不足のせいで、2個目の回答の7行目の「xᵢ²+yᵢ²=r², axᵢ+byᵢ+c=0 (i=1,2)」のところが理解が出来ません💦どのようにしてiを出したのでしょうか？
追加質問すみません…🙇🏻♀️
すみません、ついつい略記してしまいました。
省略せずに書けば、
円x²+y²=50, 直線3x+y=20の交点を(x₁, y₁), (x₂, y₂)とすると、それらの点は円上かつ直線上の点であるため、
x₁²+y₁²=50, 3x₁+y₁=20
x₂²+y₂²=50, 3x₂+y₂=20
が成り立つ。
これは、(x₁, y₁), (x₂, y₂)それぞれについてどちらも全く同じ形なので、
3xᵢ+yᵢ=20 (i=1,2)と書いて
i=1のときもi=2のときも成り立つ、つまり
3x₁+y₁=20と3x₂+y₂=20の両方について成り立つ、という略記でした。
以降のiも同様で、i=1でもi=2でも成り立つよ、っていう意味です。iを1や2に置き換えて読んでください。
すみません、何の断りもなしに略記してしまって💦
分かりやすくて丁寧な回答、本当にありがとうございます🙇🏻♀️
理解が深められるように何度も読み返させてもらいます。
証明してみました。
円と直線の2交点を通る円の方程式は実数kを用いて
x²+y²-r²+k(ax+by+c)=0
で表される。
[証明]
円と直線の2交点を(x₁, y₁), (x₂, y₂)とすると
xᵢ²+yᵢ²=r², axᵢ+byᵢ+c=0 (i=1,2)
である。
求める円の方程式をx²+y²+lx+my+n=0とおくと、2交点を通るから、
xᵢ²+yᵢ²+lxᵢ+myᵢ+n=0 (i=1,2)
が成り立つ。このときxᵢ²+yᵢ²=r²より
r²+lxᵢ+myᵢ+n=0
a≠0のとき、
axᵢ+byᵢ+c=0よりxᵢ=-byᵢ/a+c/a
(b≠0のときはyᵢ=-axᵢ/b+c/b)
を代入すると、
r²+l(-byᵢ/a+c/a)+myᵢ+n=0
r²+(m-lb/a)yᵢ+n-lc/a=0 ⋯①
すなわちi=1,2それぞれについて
r²+(m-lb/a)y₁+n-lc/a=0
r²+(m-lb/a)y₂+n-lc/a=0
辺々の差をとると、
(m-lb/a)(y₁-y₂)=0
a≠0のとき直線上の異なる2点についてy₁≠y₂であるから
m-l/a=0
m=lb/a
①に代入すると
r²+n-lc/a=0
n=lc/a-r²
よって、求める円の方程式は
x²+y²+lx+(lb/a)y+lc/a-r²=0
ここで、k=l/aとおくと
x²+y²-r²+k(ax+by+c)=0
したがって、円と直線の2交点を通る円の方程式は任意の実数kを用いて
x²+y²-r²+k(ax+by+c)=0
で表される。
うーん、少しずつ本質に近づいてる気もしなくもないけど…まだ遠いですね。
結局kというのは、図形の形状を決定する係数のうちのひとつなんですよね。円に関しては2点を通るという条件だけでは一意に決まらないので、kというひとつの自由度を持ちます。1次関数でいうところの傾きや切片に該当します。
逆に言えば自由度を保ちつつ、2交点を通るという条件を課すために任意定数kを導入した、とも考えられます。
{x²+y²-50=0
{3x+y-20=0
⇔(同値)
x²+y²-50+k(3x+y-20)=0がkによらず成り立つ。
あるいは連立方程式の加減法ととらえてもいいでしょう。2式を同時に満たすようにしながら変形する手法と言えます。
まあ、ここらへんでやめときます…