p≠7 は nearly equal ではなく not equal です。
(p-7)(p+1)x = 0 まではOKだと思います。
この式が成り立つには (p-7)=0,(p+1)=0,x=0 のいずれかが必要です。
(i) x=0 の場合
3*0+5y=-p*0 なので y=0となります。
(x,y)=(0,0)以外の解を求めようとしているので、対象外です。
(ii) (p-7)=0 の場合
p=7を代入
3x+5y = -7x より 10x+5y = 0。 2x+y=0
4x+9y = 7y より 4x+2y = 0。 2x+y=0
よって 2x+y=0となる解が存在する。
※ (x,y) = (k.-2k) k≠0 であればよい。例えば (1,-2),(-1,2)など。
(iii) (p+1)=0 の場合
p=-1を代入
3x+5y = x より 2x+5y = 0。
4x+9y = -y より 4x+10y = 0。 2x+5y=0
よって 2x+5y=0となる解が存在する。
※ (x,y) = (k,-5k/2) k≠0 であればよい。例えば(2,-5),(-2,5)など。
上記より p=-1,7
