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箱A,B,C内の個数をそれぞれ a,b,c とすると 以下の式が成り立つ。
a + b + c = 5 (a,b,c は 0以上の整数)
対称性から a≦b≦c と置いても一般性は失われない。
5 = a + b + c ≧ a + a + a = 3a より a≦5/3
aは0以上の整数なので a=0,1 のいずれかである。
(i) a = 0 のとき (0≦b≦c となる)
0 + b + c = 5 より b + c = 5
5 = b + c ≧ 2b より b≦5/2
よって b=0,1,2
b=0 のとき c=5
b=1 のとき c=4
b=2 のとき c=3
(ii) a = 1 のとき (1≦b≦c となる)
1 + b + c = 5 より b + c = 4
4 = b + c ≧ 2b より b≦2
よって b=1,2
b=1 のとき c=3
b=2 のとき c=2
上記より a≦b≦c の条件では
(a,b,c) = (0,0,5),(0,1,4),(0,2,3),(1,1,3),(1,2,2) となる。
a,b,cは入れ替えても成立するので
(a,b,c) = {0,0,5} の組み合わせ (0,0,5),(0,5,0),(5,0,0)の3組
(a,b,c) = {0,1,4} の組み合わせ 6組
(a,b,c) = {0,2,3} の組み合わせ 6組
(a,b,c) = {1,1,3} の組み合わせ 3組
(a,b,c) = {1,2,2} の組み合わせ 3組
計 21通り
対称式(入れ替えても成り立つ式)の場合、「まず大小を固定して絞り込み」をしたあとで、入替パターンを考えると解きやすくなります。
この問題では、箱の中には0個～5個が入る可能性があります。(空の箱があって良い。ミカンが合計5個という問題なので)
aの数が最も少ないとした条件では、 a≦5/3 でなければならないという結果が出て来ました。
※ aに2個入れてしまうと、b,cには合わせてミカン3個しかありません。このとき a≦b≦c となる個数配分ができなくなります。
この「配分ができなくなる条件」を絞り込みしています。
aは0個以上なので 0≦a≦5/3 となり、ミカンの個数aは整数でなければならないので a=0 or 1 となります。
ここで、aが1個とした場合 b+cは4個を配分することができます。b≦c とした条件では b≦2でなければなりませんでした。
※ これも bに3個入れてしまうと、cが1個となり b≦c を満たしません。
a≦b≦c を満たすためには a=1,b≦2 から 1≦b≦2 となります。 ミカンの個数bは整数なので b=1 or 2 となります。
分かりました！ご丁寧に解説して頂き、有難う御座います。
回答有難う御座います。なぜ、aが0か1しかあり得ないかと、(Ⅱ)は、bが1か2の場合しかあり得ないのかを詳しく教えて頂きたいです。