Question

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不定方程式を用いる数列の問題で、
l,mは自然数なのに、なぜ最初に等式を満たす1組のl,mの値を求める時は負の数を使っていいのでしょうか？

sl au 4G                  8:26               ⑮⑪ イ 96% (王)

 

 

-般項が cg。ニ3w一2.6。ニ4一1 である2 つの等基数列 {fo。} 。 {5。} の共通項を
小さい方から順に並べてできる数列 c』} の一般項を求めよ.

2 つの等差数列の共通項

 

 

 

2 つの解法を示す. わかりやすいのは [| だが, 重要なのは [2 である.

軸 項を書き出し, 初項を探す.
公差は、 {c』} {5。} の数列の公差の最小公倍数 となる.

図 {q。} の第7 項と {6。} の第 yz 項が一致する 7。7z の条件 を求める.
cx 十6yーc型の不定方程式(整到問題) に帰着する.

 

tea: 1 4. 7、10、13、16、19、22、25、28、31、34、 ーー
3.7、11、15、19、23、27、31、35、 ーー

よって. {c』] は初項 7. 公差 12 の等差数列である
ee ニ7ィエキ(ー1)・12ニ127 一5

数 12 の間隔で共通項が現れるはずである.

   

 ggニム。 とすると 37一2ニ4mー1より 3一4ー1

よって           3(7二1) =4(十1)
3と4は互いに素なので 7+1=枯7二1=ニ3た(た: 整数)
ゆえに          7=ニ村ー1. 妨ニ3たー1 (た: 整数)

共通項は gak-ュー3(4ー1)一2=12たー5
ここで,7 = 1. 1 より,た1 である.

ca 三127一5

 

文字で一般化して求めているので, {c。} の一般項が厳密に求まる.

 

cz 十0y三c型 (o。 ちは互いに素) の不定方程式 の解法 (数/
まず、 何とかして整数解4       上す. 本問では, (。 m) ニ (1
元の方程式から探し出した整数解を代入したものを引き, 一方を移項3

                                                                                                                                                                                                                                                                   
 
  

37    ー 4    デ 1
ー) 3(-1) - 4(-1)    1 より 3(7+1=4(十1)
37+1) - 4m+D)ニ0
こうして,                                 『着する.
ge ちは互し                                  ければならない.

  

マニ太と                  gた となる.

 

 

 

で
よって, 整数た を用いて,

Answer 1

私立文系(指定校)

不定方程式を解く上ではl,mは整数であればいいからです。
解が出てきたあとで自然数になるようにkを調整すればいいだけなので。