✨ ベストアンサー ✨
それは定義というわけではないですね。
まずあくまで3次の係数が正の3次関数なら良いですが、
判別式Dでは増加か減少かなどはわかりません。
例えばD < 0ならば増加ということはいえません。
そもそも導関数が2次関数じゃないとD自体使えませんし。
いろいろ厳密な話はありますが、イメージとして微分というのは関数の変化の割合(傾き)を調べているようなものです。
傾きがずっとプラスなら元の関数はずっと増加しているはずですよね
あと極値の数は一つでも良いですよ。
なんか長くなっちゃったけど読んで頂きたいです
特に②↓
①そうですね。そういう問題があったら「存在しない」が答えになっちゃう(見たことない)
それだと導関数が上に凸の放物線になりますが、これが「常に」プラスってことはありえないので、常に増加もありえないです。
②その解釈でOKです。負でも極値の存在判定や単調「減少」の判定には使えますがね。
でも極値と判別式だけを結びつけるんじゃなくて、導関数のグラフというワンクッションを置いて欲しいです。
導関数が放物線のときは判別式という武器が使えるというだけなんです。
3次関数が極値を持つ
↔︎増減の切り替わりがある
↔︎導関数(放物線)の正負の切り替わりがある
↔︎放物線がx軸と二箇所で交わる
↔︎判別式が正
慣れたら略すのは良いですが、この思考回路が大事です！
③3次以外の極値の様子を見せる例として、4次とかじゃなく逆に2次関数を持ってきてました😅
2次関数だと、導関数が直線で元の関数が放物線ですよってだけの画像です。
ちなみに2次関数の極大(小)点はいわゆる頂点と一致しますね。
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数IIIになると微分で扱う関数が一気に増えるんですけど、導関数のグラフを考えることがとても大切になります。
数IIだと3次関数ばかりですが、数IIIを見越してより汎用性の高い理解をすると良いです。
三角関数やら諸々のグラフの話も全部そこに繋がってきます。超大事です！
こんなに沢山説明してくださって、本当にありがとうございます🙇🏻♀️
お陰様で、①、②、③、全て理解出来ました。
ノートに纏めさせてもらいます。
なるほどです！
本質を理解出来るように頑張ります。
ちなみになんですけど(追加ごめんなさい😭)、数学で沢山公式出て来ますが、全て覚えていますか？数学の勉強は公式を最低限は覚えて、他は理解して導けるようにはしているのですが、問題を解く際、殆どの問題が公式を導くことから始まるので明らかにタイムロスしてる気がするので…💦
やはり公式を覚える努力もした方が良いのでしょうか… 英単語等は覚えられるのですが、数字(年号や数学公式)を覚えるのが苦手で…。
良かったです！
少し曖昧なところがあっても、数IIIまでやるとまた色んなものが見えてくると思いますよ。
公式ですか…なかなか奥深いところですね
例えばよく言われる例だと、三角関数の加法定理(sinとcosの2つ)は覚えていますが、そこから導けるものは覚えていません。
三角関数の公式はなんとなく無秩序な見た目が多いというのもあって、暗記に頼って符号ミスるとかよりも導いた方が自分は安心できます。
2倍角、3倍角、和積、積和はもちろん合成すらも加法定理からやってます。
でも別に証明を求められているわけではないので、自分なりの略記をしつつ高速にです。
ただあまりにも頻繁に登場して覚えちゃうやつはあります。半角の公式なんかまさにそうです。(これを使うと次数下げができるので三角関数の積分で死ぬほど重要)
分野にもよりますが基本的に僕は理系科目での暗記は極力減らす方向で勉強していました。暗記完全否定ではないですよ。
本当に丁寧な回答ありがとうございます🙇🏻♀️
一昨日くらいに丁度倍角公式、合成、積和/和積公式の導き方を勉強していました。公式覚えなくて安心しました笑(加法定理は同じく覚えましたけど。)
数学に関しては暗記を極力少なくする勉強法を貫く事にします。
なんとなくですが、数3が楽しみになってきました！(数Bすら手付けてないですが笑)
色々と回答してくださってありがとうございました。
グラフまで丁寧に書いてくださってありがとうございます🙇🏻♀️
岩石さんの仰っていることはお陰様で大体理解出来ました。
追加で3つ質問させて下さい。
①「x³+ax²+3xが常に増加する定数aの範囲は？」という問題で質問した様な判別式を使ってといたのですが、岩石さんが「あくまで3次の係数が正の3次関数なら良い」とのことなので、もし問題が「-x³+ax²+3xが常に増加する定数aの範囲は？」だったら問題としておかしいという事でしょうか？
②岩石さんが2行目から5行目(2段落目)で仰っていたことは例外があるという事ですよね？二次関数以上、3次関数なら3次の係数が正であれば、このような事が判別式で例外なく考えられるという解釈で合っていますでしょうか？
③私の理解力不足で、写真の3枚目が理解できません💦少し説明してもらうことは可能でしょうか？
沢山ごめんなさい💦
答えていただけると本当に助かります。