(3)が全体的に何をしているのか解説を読んでもよく分かりません。

Question

(3)が全体的に何をしているのか解説を読んでもよく分かりません。
•なぜ絶対値をつけているのか
•なぜその場合分けになるのか
•rがこのように分母になった時どのように処理したらいいですか。
この3点を特に教えてほしいのと、全体的な解説ももしもしてもらえたら嬉しいです。

あいうえお · Accepted Answer

こういう問題は、rに具体的な値を入れて計算して収束するか発散するかなど調べるのが分かりやすいです。

例えばr=2を代入してみると、1/2を何回も掛け合わせるから分母が無限大に発散し0に収束すると分かり、この結果からr>1なら0に収束するだろうと分かります。

次にr=-2を代入すると、正負を交互にとっていくが、これも分母が無限大に発散し0に収束すると分かります。この結果からr<-1のときも0に収束するだろうと分かります。

解説は上記の２つの結果を１つにまとめるために絶対値をとっています。絶対値をとるのがパッと思いつかなくても、場合分けが解説よりも１つ増えますが、r>1のときという場合とr<-1のときという場合に分けて解答しても正解です。
つまりこの問題を見たとき、いきなり絶対値を考えようとしたわけではなく、絶対値をつけると場合分けが１つ減って見やすいという意味でつけたわけです。

また、このようにrに具体的な値を入れて調べれば、必然的にこのような場合分けになるというのが分かると思います。

rが分母だと考えにくいということであれば、1/r=sなどとおき、sの値で場合分けをすればよいと思います。