Question

すずらん

和を求めよという問題です。
2題の解き方教えて欲しいです🙇‍♀️💦

8
』
4
の
『

Answer 1

ゆう

(1)k(k+1)と(k+1)(k+2)で部分分数分解すると
(1/2)(1/{k(k+1)} - 1/{(k+1)(k+2)})これをさらに部分分数分解して
(1/2)(1/k - 1/(k+1) - (1/(k+1) - 1/(k+2))

1~n総和は、
1/k - 1/(k+1)の部分と1/(k+1) - 1/(k+2)の部分のそれぞれで考える。両方とも項がひとつズレたパターンなので、最初の1と最後のn以外は打ち消される。それを代入して

(1/2)(1 - 1/(n+1) - {1/2 - 1/(n+2)}
= (1/2)(1/2 - 1/(n+1) + 1/(n+2) )

ゆう

(2)有利化する

1/(√k+√(k+1))

(√(k+1)-√k)/((k+1)-k)

=(√(k+1)-√k)/1
1~nを代入して相殺される所を考える

=(√2-√1)+(√3-√2)+(√4-√3)+・・・+(√n)-√(n-1))+(√(n+1)-√n)

=√(n+1)-1

すずらん

2問とも丁寧にありがとうございます！！

よー

ゆうさん、(1)って2回部分分数分解する必要ありますか？

ゆう

必要かどうかと言われればその人の計算スピードによります。階差1の二項の部分分数分解の総和は最初と最後しか残らないことを知っているのと、このパターンの部分分数の結果は既に暗記してしまっているので、こちらで解いた方が暗算で全て解けるため私としては早くて正確です。しかし、質問者さんに混乱を与えてしまうような解答だったかもしれませんね、申し訳なかったです。1度のみの部分分数分解でも最初の1/2と最後の1/(n+1)(n+2)が残るので同じ答えになります

Answer 2

よー

上は1/k(k+1)+1/(k+1)(k+2)に部分分数分解してあげると項が消えていくのでそれでいけます。下は一度分母の有理化をしてみましょう。こちらも消えていく項が出てきます。
どちらもどのように項が消えていくかは実際k=3ぐらいまで代入するとわかると思います

すずらん

わかりました！ありがとうございます！