Question

のん

この問題の(1)がよく分かりません。

答えは14なのですが、
△PFQを3つの三角形に分けて考えた時、直角三角形が3つ出来て、その上底辺と高さもわかるので
4×6÷２＋4×2÷２＋2×6÷２かなと思ったのですが、、

なぜ14にならないのですか？
教えてください🙇‍♀️

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

たか

4×6÷２＋4×2÷２＋2×6÷２
→これは△BFP, △BPQ, △BFQの面積の合計ですよね？

求めるのは△PFQの面積です。

三角錐FBPQの表面積 - △BFP, △BPQ, △BFQの面積の合計
で求められます。

三角錐FBPQの表面積は、
三角形をうまく移動するとわかるのですが、
立方体の面の面積と同じになります。

36 - 22 = 14

のん

ご回答ありがとうございます。2つ質問があります。

① △PFQの面積は三角錐FBPQの表面積 - △BFP, △BPQ, △BFQの面積の合計
で求められるとありますが、底面は余弦定理を使うことになるのでしょうか？それとも三平方の定理を使いましたか？

② 三角錐FBPQの表面積は、
三角形をうまく移動すると立方体の面の面積と同じになるというのは、どのように判断されたのですが？

たか

① 余弦定理も三平方の定理も必要ありません。
　
三角錐FBPQの表面積：6×6 = 36
△BFPの面積：4(BP)×6(BF)÷2 = 12
△BPQの面積：2(BQ)×4(BP)÷2 = 4
△BFQの面積：2(BQ)×6(BF)÷2 = 6

36 - (12+4+6) = 14

② 今回に限った話ではないのですが、図形を分割して
パズルのように色々と動かしてみると簡単に解けることがあります。
面積を求めるときなどによく使われます。

今回の場合だと
　△BQFと△APD
　△BPFと△CQD
　△PQFと△QPD
これらが互いに合同なので、三角錐FBPQの表面積が四角形ABCDの面積と同じであることがわかります。

のん

詳しいご回答ありがとうございますm(*_ _)m
　△PQFと△QPDが合同だとわかるのはなぜですか？
36の求め方がよく分かりません(--;)

たか

△BFPと△CDQは合同なので、
PF = QD
△BFQと△ADPは合同なので、
QF = PD

PQは共通なので、
△PQFと△QPDは合同になります。

今は四角形ABCDで考えていますが、ABFEでもBCGFでも考え方は一緒です。

要は、「三角錐FBPQの表面積」と「立方体の面の面積」が同じになるということです。

1辺の長さが6なので、単純に縦×横で
6×6 = 36
が三角錐FBPQの表面積になります。

のん

その考えは思い浮かびませんでした。
よく分かりました！
詳しけありがとうございましたm(*_ _)m