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少し語弊があったので書き直します。
√の部分が変数になる時は相加・相乗平均は成り立つのですがそれで問題を解くことは大抵無理です。
例えば
x(>0),y(>0)変数とする。
x+1/x²の最小値を求めなさい。
という問題があったとしましょう
相加・相乗平均を使うと
x+1/x²≧2/√x
となり、等号成立はx=1の時
よって最小値は2である。
確かにy=x+1/x²とy=√2/xが交わる点はx=1ですが、
グラフが交わる点=最小値
では無いです。
なので、変数でも相加・相乗平均は成り立つけど必ず最小値にはならない⇒変数だと活用できない
ということだと思います。
一言に相加相乗平均の関係を使った証明といっても色々ありますが、文面を見ている限りは「2x+ 1/xの最小値が√2/2であることを証明せよ(x>0)」とかでしょうか。
証）x>0より2x>0、1/x>0
相加相乗平均の関係より2x+ 1/x≧2√2
等号成立は2x=1/x⇔x²=1/2⇔x=±√2/2
x>0よりx=√2/2のとき、2x+ 1/xは最小値2√2を取る。よって証明できた。
相加相乗平均の関係では、a=bのとき等号が成立します。等号が成立することを言わないと2√abが最小値であると言えません(2√abを取ることが証明できていないから)。
ちなみに2√abを取ることが証明できていないという点についてもう少し詳しく説明します。
x≧20という情報だけではxの最小値が20だと言い切ることができません。x=20となる時がある(相加相乗平均の関係を使う問題だと等号が成立するとき)ということを言わないと、言い切れないんです。
例えば、居酒屋でお酒を飲んでいる男性を見かけたとしましょう。お酒を飲んでいるので当然男性は20歳以上です。(男性の年齢)≧20です。
ではこの時、「その男性の年齢は20歳です」と言えるかというと、言えないですよね。
分かっているのは男性の年齢が20歳以上だということだけで、どこにも男性は20歳だなんて書いてないんですよ。これが≦や≧の罠ですね。
ご理解頂けましたでしょうか？
ありがとうございます。
a=bのとき等号が成立するとありますが、そのa、bどちらともが変数だったとしても等号は成り立ちませんか？
a,bは普通変数ですよ。変数がa=bを取る時に等号が成立します。
すみません、間違えました💦
a+b≧2√ab の2√abの値が一定にならなかった場合でもa=bは成り立つと思うのですが、成り立つならそのときも最小値と言えるのではないでしょうか？
今理解出来ました！
分かりやすく説明してくださって本当にありがとうございます。
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グラフの交わる点が最小値とは限らない、という説明で凄く納得できました。
分かりやすく説明してくださってありがとうございます。ネットで調べてもなかなか理解できなかったので助かりました。