Question

通りすがりの人

数学aなんですが、ユークリッドの互除法を使ってやるはずなんですが、解説を見てもわかりません
解説お願いします

ちなみに答えは、5, 12, 19, 26, 33, 40, 47です

B
47+15 と 3n+13 の最大公約数が7になるような50以下の自然数nを
べて求めよ。

ユークリッドの互除法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ς sigma ς

4n+15と3n+13においてて、
4n+15=(3n+13)×1+n+2
3n+13=(n+2)×3+7

よって、gcd(4n+15,3n+13)=gcd(3n+13,n+2)=gcd(n+2,7)

よって、4n+15と3n+13の最大公約数はn+2と7の最大公約数と同じ値を取る
よって、n+2が7の倍数を取る時、条件を満たす。

ここで50以下の自然数をnは取るので、

1≦n≦50 ⇔ 3≦n+2≦52

よってこの範囲に当てはまる数は
n+2=7, 14 ,28 ,35 ,42 ,49

よって、n=5 ,12 ,26 ,33 ,40 ,47

通りすがりの人

回答ありがとうございます！
質問すいません！
6～9行目のところなんですが、
どのような関係性なんですか？教えてほしいです

ς sigma ς

最大公約数なので、言い換えればn+2は「公約数に7を含むもの」ということです。

公約数に7を含むと言うことは、その整数は7k(k=1,2,3,••••)が要素となるものでなければ成り立たないと言うことになります。

通りすがりの人

ありがとうございます！
分かりやすかったです！