Question

だいすき

この問題の解き方と答えを教えてください。、ベストアンサーつけます

【3】 nを0以上の整数として,I,= (loga)° dx とする。
(1) I」をI,を用いて表すと,I,,=e-(n+
(n+[11,(n20)となる。
(2) 上記を用いて,I,を求めると, I, =
2
3 eとなる。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

(1)
I[n]＝∫(logx)ⁿdx
=∫(x)'(logx)ⁿdx
部分積分して、
=x(logx)ⁿ-∫x×n×*(1/x)×(logx)ⁿ⁻¹dx
=x(logx)ⁿ-n∫(logx)ⁿ⁻¹dx
=x(logx)ⁿ-nI[n-1]
これより、積分の範囲を1～eとすると、
＝e-nI[n－1]　だから、
I[n+1]＝e-(n+1)I[n]

(2)
I[1]＝∫[e→1](logx)dx
　＝[xlogx][e→1]-∫x×1/xdx
　＝e-(e-1)＝1
(1)より、
I[2]＝e-(1+1)I[1]
　＝e-2
I[3]=e-(2+1)I[2]
　＝e-3(e-2)
　＝-2e+6
　＝6-2e