Question

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帰納法の問題です。解答がなく、自分の答えと照らし合わせたいのでどなたか証明してくださると有難いです。

2.n22 であるすべての整数 n について, 次の不等式①が成り立つことを, 数学的帰納法を用い
て証明しなさい。証明は, 解答欄内の記述に続けて書きなさい。
1
1
三く2-。
の
k=1

Answer 1

KONTON

n=2のとき、左辺=1+1/4=5/4<2-1/2=3/2
n=kのとき、①が成立すると仮定すると、
右辺-左辺=(2-1/k+1)-(1+1/4+…+1/(k+1)^2)
>(2-1/k)-(1+1/4+…+1/k^2)-1/(k+1)^2
仮定より、(2-1/k)-(1+1/4+…+1/k^2)>0

ここで、1/k-1/(k+1)と1/(k+1)^2の大小を比較する。
1/k-1/(k+1)=1/k(k+1)、k(k+1)<(k+1)^2より、
1/k(k+1)>1/(k+1)^2、
これらより、n=k+1のときも①は成立する。
数学的帰納法より、①はn≧2のとき、常に成立。

Answer 2

説明わかりやすいの助

自分の答えも書けたところまで載せるとすぐに回答が来ると思いますよ。