✨ ベストアンサー ✨
(1)
A と 1/A のような形が出てきたら、相加相乗平均を使えないか考えましょう。
ただし、相加相乗平均は A>0のときしか使えないので注意。
この問題では a>0,b>0 なので 使えます。
相加平均≧相乗平均 となるので
ab + 16/ab ≧ 2√(ab * 16/ab) = 8
ゆえに ab + 16/ab ≧ 8
等号は ab = 16/ab のとき なので ab=4
(2)
相加相乗平均では (a + 1/b)(b + 4/a) ≧ 8 までしか求まらなかったので、違う方法を考えます。
※ a + 1/b ≧ 2√(a/b) , b + 4/a ≧ 4√(b/a) なので (a + 1/b)(b + 4/a) ≧ 8 とやってはみたが ≧ 9 ではない。
n = (a + 1/b)(b + 4/a) - 9 として n≧0 であることを証明に使います。
両辺にabを掛けると
abn = (ab + 1)(ab + 4) - 9ab
= (ab)² - 4ab + 4
= (ab - 2)²
ゆえに n = (ab - 2)²/ab ≧ 0 と言える。 等号は ab=2のとき
よって (a + 1/b)(b + 4/a) ≧ 9 等号は ab=2のとき
ご丁寧にありがとうございます！！🥺