Question

はる

三番の解説でt＝1のときsin(θ＋π/4)＝1/√2がわかりません。なぜ1/√2なのですか？

8|0S0<2x とするとき, 関数 y=2sin0cos0 -2sin0-2cos0+3 について, 次の問いに答えよ。
(1) sin0+cos0=t とおくとき,tのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) yをtの式で表せ。
(3) yの最大値と最小値を求めよ。 また,そのときの0の値を求めよ。

(1) 三角関数の合成の公式により
t=sin0+ cos0=V1°+1°sin (0+
4
1
=V2 sin(0+
4
V2
T
4
0S0<2x より、s0+くェだから、-1Ssin
T
9
O
4
-π だから, -1<sin(0+
S1
4
4
よって、
ー12 StsV2
-(答)
-2S(2 sin(0+ ズ)S/2
(2) t=sin0+cos0
.…① の両辺を2乗すると
ピ=(sin0+ cos0)°
=sin°0+2sin@cos0+cos°0
=1+2sin0cosé
sin°0+cos°0 =1を代入する。
よって,2sin0cos0=°-1
D, 2をyの式に代入すると, y=ピ-1-2t+3
したがって, y=ピー2t+2
2
(答)
(3)(2)から, y=(t-1) +1
この関数のグラフは, 頂点(1, 1)の下に凸の放物線で、
ー12StsV2 より, 右の図の実線部分である。
よって, t=-V2 のとき最大値をとり,
t=1のとき最小値をとる。
t=-V2 のとき
平方完成してグラフをかく。
ツ* y=t-2t+2
4+2/2
3
0
1x
sin (0+号)--1より、#-
5
:-1より, θ=x
2
sin 0+
4
t=1のとき
sin (0+号)- . 号
ー2 0
1(2
より,0=0,
2
1
y
2
12
したがって
0+
4
3
-π
2
「T
X 4
0
ーπ
5
0=x のとき, 最大値4+2V2
4
-年番
3
1
X
(答)
0+
4
4'47
0=0, のとき
-t=-/2 のとき, リ=(-V2-1)+1=D4+2,2
t=1のとき, %3 (1-1)+1=D1
のとき,最小値1
三角関数|
「34

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

うどん

t=1のとき、sinθ+cosθ=1
三角関数の合成をして、√2sin(θ+π/4)=1
∴sin(θ+π/4)=1/√2

はる

理解出来ました、ありがとうございます！

Answer 2

kyオタオタ

(1)でt=√2sin(θ+π/4)と合成してますよ。

はる

ありがとうございます！