Question

ドメニコ・プッチ

二次関数の最大、最小の問題です。1枚目が問題、2、3枚目が答えです。3枚目の下に書いてあるのが自分の考えです。
なぜa>0ではなくa ≧0なのか教えていただきたいです。

6a, bを定数として2次関数 y=ーx?+(2a+4)x+b
のについて考える。関数①の
グラフGの頂点の座標は(α+ ア
a?+
イJa+b+ ウ]) である。
|a+b+| ウ
以下,この頂点が直線 y=-4x-1上にあるとする。 このとき,
b=-a'-[ エ a-[オカ である。
キク
(1) グラフGがx軸と異なる2点で交わるようなaの値の範囲は a<-
である。
ケ
また,Gがx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるようなaの値の範囲は
ち9
-| コ]-サ
くaく-
サ
である。
コ
(2) 関数のの0ハx<4における最小値が -22 となるのは a= シス||または
セ
のときである。また a= セ
のとき,関数の0<x<4における最大
a=
値はソタチ|である。

62次関数のは
y=-{x-(a+2)}?+α+4a+b+4
よって,①のグラフ Gの頂点の座標は
(a+2, a?+4a+6+4)
この頂点が直線 y= -4x-1上にあるから
a'+4a+b+4=-4(a+2)-1
整理して
b=-a°-8a-13
以下,f(x) = -x+(2a+4)x-a'-8a-13 とおく。
(1) Gの頂点の座標は
Gは上に凸であるから,x軸と異なる2点で交わる条件は
(a+2, -4a-9)
(頂点の y座標)>0
-4a-9>0
-9
よって aく-
4
すなわち
また, Gがx軸の正の部分と負の部分の両方で交わる条件は
f(0) = -α°-8a-13>0
これを解いて -4-V3<a<-4+v3
(2) f(x) の0<×<4における最小値を考える。
[1] a+2<2すなわちa<0のとき
f(x) の最小値は,グラフより
f(4) =-a'-13
ーa?-13=-22 とすると
a?=9
a<0より a=-3
[2] a+222すなわちa20のとき
H2>)
a70 に

f(x) の最小値は,グラフより
f(0) =-a?-8a-13
-a?-8a-13=-22 とすると
(a+9(a-1)=0
a20より a=1
a70
=(a Ch だめなのか
y
[2] y
f(0)
=プ(x)
f(4)
.ソ=f()
f(4)
x=a+2
f(0)
x=a+2
a=1のとき,Gの軸の方程式は
x=3
このとき,軸は0<x<4の範囲にあるから, 求める最大値は
-4a-9=-4.1-9=-13
at2-20とき
a-0.
aこ0nとき
H)-(x-2}-9.
d4)-H0): -13
よって
aキ0
CE

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

tra7345

いいです。

が、ひと手間多いですね。それでも良ければ
間違いではないのでいいと思います。

ドメニコ・プッチ

回答ありがとうございます。
解答の方はa<0,a ≧0で後者の方をa>0とa=0でまとめていて、まとめれるとわかるのはa=0の時どうなるか、先に分かっていないとまとめれないと思うのですが
解答はそこを省いているんですけど、もとめなくてもわかるものなのですか？