Question

ぴー

途中式を教えて欲しいです。
代入したりしましたが、答えが合いません…

D
標問 19
sin0
0
lim
=1
0→0
kを正の定数とする。曲線 y=cos kr と 3 直線
研
(0<のく赤)
との交点を通る円の中心をPとする.0が0に近づくとき,Pはどのような
20
x=-0, x=0,r=0
2k
(<sD.
が
点に近づくか。
(東北大)
中心Pの座標を0で表します。曲線
シ=Cos kr は y 軸に関して対称だ
解法のプロセス
P(0, p)とおく
→精講
C)
から, 3直線との交点は
合
かを0で表す
A(0, 1), Q(6, cosk0),
Q(-6, cosk0)
とおけて, Pはy軸上にあることがわかります。
そこで, P(0, )とおいて関係式 PQ=PA をか
sin0
-=1 を使う
lim
0→0
0
について解けばよいでしょう.
limかを求めるには, lim
sin0
-=1 を利用しま
0→0
0
0→0
す。
く解答
リ=coskr 上の 3点 A(0, 1), Q(0, cosk0),
Q(-0, cosk0)を通る円の中心はy軸上にあるか
ら, P(0, p) とおける。
PQ=PA より,
°+(カーcosk0)?=(1-カ)
2(1-cos k0)カ=1-cos'k0-0°
A1
Q
P
b=1
02
1+cosk0-
1-cos k0,
ここで,
0°
1-cos k0
良台さで関こ
(1+cos k0)
sin'k0
一分母,分子×(1+cosk0)
1+cos k0
k0
(sink0
2
sin@
lim
-%=1 を使うために
: limp=;
2
2
1
31
2
の口の部分をそろえ
0→0
sin口
ゆえに, Pは点(0, 1-点に近づく。
1

Answer 1

きらうる

p＝1/2(1+coskθ-θ²/(1-coskθ)
この式をθ→0にしたとき、
1+coskθの部分は、→1+cos0＝1+1＝2

またθ²/(1-coskθ)の部分は
＝(1+coskθ)/k²×(kθ/sinkθ)²
と変形しています。

この式の中の(kθ/sinkθ)はsinθ/θ→1となることを利用して、1になります。
また、(1+coskθ)の部分は1+cos0＝2になるので、
(1+coskθ)/k²×(kθ/sinkθ)²→2/k²×(1)²＝2/k²

だから、
p＝1/2(1+coskθ-θ²/(1-coskθ))
　→1/2(2-2/k²)
と変形されています。

Answer 2

安田ヒデ

教科書や参考書の数IIIの三角関数の極限の説明をみてください。必ずでています。

ぴー

見ましたが、分かりません！
途中式お願いします

安田ヒデ

すみません。この極限を証明するのかと思いましたので。これは使っていいのでしたら、もう解説なさっている方がいますね。