Question

赤色

青い矢印が指しているところの式変形を教えてください

40
基本 例題152 和と積の公式
(1) 積→和,和一積の公式を用いて, 次の値を求めよ。
(ア) sin75°cos 15°
0S0
(ウ) Cos 20°cos 40° cos 80
(2) AABC において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。
C
2
sinA+sinB+sinC=4cos cos- cos
(イ) sin75°+sin15°
左公の時
A
B
COS
2
2
指針>
p.239 基本事項1, 2
重要161
Te-1+9miaー
指針>(2) AABC の問題には, A+B+C=π (内角の和は180°) の条件がかくれている。
A+B+C=πから, 最初にCを消去して考える。
そして、左辺のsinA+sinBに 和一積の公式 を適用。
::: 0 a
Lniannie
CH
解答
(1)(ア) sin75°cos 15°=
2
-{sin(75°+15°)+sin(75°-15°)}
2+V3
4 公の
V2 /3
1+
(sin90°+sin60°)
三
75°+15°
COS
75°-15°
-2sin45°cos 30°=2-
(イ) sin75°+sin15°=2sin
2
2
2u(0
2
2
ie %3D(8
1
(ウ) cos 20°cos 40°cos 80°=
-{cos60°+cos(一20°)}cos80°=
+cos 20° )cos 80°
2
1
-cos 80°+
1
-cos 20°cos80°=
2
1
"COs 80°+
11
-{cos100°+cos(-60°)}
2 2
三
1
1
1
"Cos 80°+
4
-COs 100°+
8
-COs 80°+
4
-cos(180°-80°) +
4
8
1
1
-COs 80°+
8
2000
"COs 80°
三
(2) A+B+C=ェから
C=π-(A+B)
sinC=sin(A+B), cos=cos(-4)=sin
ゆえに
A+B
A+B
COS
2
2
A+B
sin A+sinB+sinC=2sin-
A-B
COS
2
よって
A+B
+sin2·
2
2
A+B
=2sin-
2
A-B
A+B
+cos
2
COS
2
=2cos-2cos
C
A
B
2
2
COS
2
A
B
COS
COS
2
C
ala
=4cos
2
2
練習
(1) 積→和, 和一積の公式を用いて
た。
市J

Answer 1

mo1

【角度の部分を見やすくするため置き換えます】

―――――――――――――――――――――――――
上の式

●(Ａ＋Ｂ)/2＝(α)、(Ａ－Ｂ)/2＝(β)　と置き換えます

＝2･sin(α)･cos(β)＋sin(2α)

●後ろの項を2倍角の公式で展開

＝2･sin(α)･cos(β)＋2･sin(α)･cos(α)

●2･sin(α)で括ります

＝2･sin(α){cos(β)＋cos(α)}

●(α)＝(Ａ＋Ｂ)/2、β＝(Ａ－Ｂ)/2　と戻します

＝下の式

―――――――――――――――――――――――――
という感じです