Question

アカリ

この問題の2番の問題のマーカー部分がなぜそう言えるのかが分からないです。解説お願いします🙇‍♀️

座標平面上に直線2:y=2x-11 があり,点A(-2, 5) を通り eに垂直な直線を mとする。キ
た,とmとの交点をBとする。
(1) 点Bの座標を求めよ。
54
(2) 点Bにおいてくに接し, 点C(5, 4) を通る円の方程式を求めよ。
(2018年度 進研模試 3年7月 得点率 51.0%)

A
C
B
0
m x
求める円は点Bにおいて!に接するので, 中心
は直線 m上に存在する。
よって,円の中心を(2t, -t+4), 半径をr(r>0)
とすると,求める円の方程式は
(x-2t)?+{y-(一t+4)}?= r°」5
と表される。
また,この円は点B(6, 1), 点C(5, 4) を通るので
|(6-24)?+{1-(-t+4)}?=°
l(5-2)?+{4-(-t+4)}?=D パ」3 ④
が成り立つ。
3より
5t?-30t+45 =
のより
5t?-20t+25 =re
6, 6より
5t2-30t+45 = 5t?-20t+25
5)
t=2
よって,円の中心の座標は
(4, 2) 」2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

零

l,m,Bに関する問題中の情報を整理するとわかる。
①lに垂直な直線をmとする(直線mは直線lに垂直)
②lとmの交点をBとする(直線mは点Bを通る)
③円は点Bにおいてlに接する(点Bは円と直線lの接点)
→mは接点B(③)を通り(②)、接線lに垂直(①)な直線
ここで、円の中心から接点に向かって引いた直線は必ず接線と直交するという性質があるので、逆に、円の中心は円の接線との接点から垂直に引いた直線上に存在する、と言える。したがって、中心は直線m上に存在する。

アカリ

理解出来ました！ありがとうございます。
あと、円の中心が2t，-4tなのは何かに代入したのですか？

零

円の中心が直線m上に存在することから、円の中心の座標は直線mの式を満たすので、(2t,-t+4)とおくことができます。
そう、つまり直線mの式に代入したということです。
直線mの式は
・lに垂直(→傾き-1/2)
・点Aを通る
の2つから求められ、
y=(-1/2)x+4
となります。普通はx座標をtとおくんですがそうすると分数が出てきて面倒臭いので、解説ではあえてx座標を2tでおいていますね。