Question

ぱぱ

数学の質問です

この問題の⑵なんですが、解説にはXはx＋1番目、よってX1は2x＋1番目、と言ってるんですが、確かに僕もそうなるだろうと予想まではできましたが、あくまで予想で、数学的帰納法を使えるわけでもなかったので、このように断言してしまうのは、どうなのかなと思ったのですが、何か僕が見落としてるところがあるんでしょうか？

よろしくお願いします

78° 0と1からできる数字の列の全体を次のように一列に並べる。
0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, 0000, …….
このとき,
(1) 1101001 は何番目の項か.
(2) X がn番目の項であるとき, X の後に1を加えた項 X1 は何番目に現
れるか、n の式で表せ. (例えば,X が00ならば, X1 は 001 を表す。)
(名古屋大)

78 (解答)
0,1| 00, 01,10, 11 | 000, 001, …, 111 | 0000,
のように,2個,4個, 8個,
と区切って群を作ると, 第m群には, 2進法で表
ミれた 0, 1, 2, …, (2"-1) の 2m 個の数があるから, 第(m-1)群の末項までには
全部で
2(2"-1-1)
2-1
-=2"-2
…D
項ある。
(1) 1101001 は, 第7群に含まれ, 10 進法で
2°+25+2°+1=64+32+8+1=105
であるから,第7群の中の106番目。
よって, 1101001 は, 最初から数えると, ((27-2)+106=) 232 番目の項. (答)
(2) n番目の項 X は, m 群に含まれるとし, 10進法で表すと x であるとすると,
X は m 群の中の(x+1) 番目の数であるから, 最初から数えると, ① より
n=(2"-2)+x+1 (番目の項)。
…の
X1 は, 10 進法では 2x+1 であるから, (m+1)群の中の (2x+2) 番目の数で
ある。
よって,X1 は, 最初から数えると,
(2m+1-2)+2.x+2=2{(2"-2)+x+1}+2
=2n+2 (番目の項). (:: ②)
(答)

数列

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

MM

返信遅れてすいません(汗)
はい、x→2x+1は証明はいりません。
X1という2進法表示を１０進法表示にして表記をかえただけですから。

Answer 2

MM

断言してオッケーです。
私達は今具体的にXが何群目の何項目か知りたい。
だから、勝手にm群目に存在してXは十進法でxで表せるとする。
このときXはm群目のx+1項目にいることになる。
それで、ちなみにn,x,mの関係は
n=2*m-2+x+1。
で、これは全然証明なんかいらない。
なぜなら私達がしたことはnを他の方法で表しただけだから。
わかりますでしょうか？分かりづらかったらすいません(汗)

ぱぱ

ご回答ありがとうございます
実は、そこは分かるんですがX＝x＋1項目⇨X＝2x＋1項目と証明なしに言っていいのか、と言うことがいまいちよく分からなくて

良ければお願いします

MM

2進法表示でX→X1になるときそれは十進法表示でx→2x+1になるのは大丈夫でしょうか？
そうなるとX1はXより1桁増えているから第m+1群目に存在し、十進法表示で2x+1だから第m+1群目の第2x+2項目になる、ということです。
んー、分かりづらかったらごめんなさい🙏

ぱぱ

なるほど！
理解できました！
そのx→2x＋1となることは証明はいらないんでしたっけ？