Question

なちゲスト

何線のところがなぜこうなるかわかりません

18発展三角錐0-ABCにおいて, OA=OB=OC=8, AB=BC=CA=4である。辺OA上
に点Pをとり,OP=x, ZBPC=aとする。 このとき, 次の問いに答えよ。
(1) cosa をxの式で表せ。
(2) APBCの面積をSとする。Sの最小値と,そのときのxの値を求めよ。
ヒント(1) まず, ZPAB=0として△PABで余弦定理を用い, PB”の値をxの式で表す。

よって,DI- DI=
-14x+64)?- (ピー14x+56)?
*-14x+64
3
16 球の中心をOとし, Oを通
り,底面に平行な平面で三角
柱を切断する。右の図のよう
に頂点を定めると,球の半径
は,AABCの内接円の半径
rに等しい。
4-14x+60
ペー14x+64
よ
S=
ーPB-PCsina=
→PB'sina
B
5
=4-14x+60 =2ポー14x+60
1-
A-5--ーB
仮
ここで,パ-14x+60=(x-7)?+11より,
Pは辺OA上の点だから, 0<x<8
よって,Sは, x=7のとき最小値2/11 をとる。
AABCにおいて, cosB=
と
2-5-8
より。sinB-\1-(-) -
ゆえに、AABC-58--5+8+11)
21
第8講座 データの分析
:58 5+8+11)
【p.23)
1(1) 階級値をx, 度数を
fとして右のような表を
つくると,平均値は,
これより,アー
121
x
xf
11
11
11
よって,球の体積は, =
13
1
V21
3
28,21
27
13
15
30
=×160=16(°C)
x
17 内接球の中心をOとす
17
A
4
68
中央値は,5番目と6番
目の平均値であるから,
16~18の階級の1番目
と2番目の平均値にな
る。右の図のようにデ
ータが均等に分布して
ると,Oと4つの面との
19
2
38
距離は等しく,右の図で,
OH=rである。
また,正三角錐OABC,
計
10
160
5番目 6番目
B
16
18
OACD, OABD,
中央値
OBCD は合同であるから,これらの体積をV",
正四面体ABCDの体積をVとすると,V=4V'
2/3
3
いると考えて,16+(18-16)×=16.5(°C)
ここで, 10と同様に考えて, BH=
最頻値は,最も度数が大きい階級の階級値であ
るから,17°C
(2) データを小さい順に並べると,
9 10 10 11 12 12 13 13 14 16
3
AH-/2-()-2り。
-2:2sin60),2g
(2/3
3
2/6
より,
3
2,6
2/2
V=-(2-2sin6
範囲は, 16-9=7(°C)
中央値(第2四分位数)は12°℃,
第1四分位数は10℃ 第3四分位は13℃
四分位範囲は,
3
3
2/2
よって,(
*2-2sin60°
×4=
V6
これを解いて, r=-
6
13-10
18(1) ZPAB=0として, △PABで余弦定理か
=3(°C)
箱ひげ図は
右のように
なる。
2 A駅について, データを小さい順に並べると,
2
ら, cos0=-
8
-だから。
0
5
10
15
PB=(8-x)?+4°-2(8-x)·4·cos0
=ペー14x+64
PB=PCより, APBCで余弦定理から,
4 556
68 8 8 9 9 9
PB°+PC°-BC°_2PB'-BC*
2-PB-PC
9 10 12 15
仮平均を x=9 として, 各データとの差の合計を
計算すると,
COSQ=
2PB?
_2(ピー14x+64) -16_ー14r+56
2(ー14x+64)
-14.x+64
(2) sina=/1-cos'a
+(9-9)-4+(10-9)+(12-9)+(15--9)=D-12
-14-
T
2 |
十

よって,DI- DI=
-14x+64)?-(x°-14x+56)?
ペ-14x+64
4 -14x+60
-14x+64
16 球の中心をOとし, Oを通
り,底面に平行な平面で三角
柱を切断する。右の図のよう
に頂点を定めると, 球の半径
は,AABCの内接円の半径
rに等しい。
S=PB-PCsina=→PB'sina
=4-14x+60 =2パー14x+60
ここで,パー14x+60= (x-7)?+11 より、
Pは辺OA上の点だから, 0<x<8
よって,Sは, x=7のとき最小値2/11 をとる。
2
AABCにおいて, cosB=
2-5-8
より, sinB-1-(-Y-
5
第8講座 データの分析
21
ゆえに,△ABC=-
5-8--(5+8+11)
ー=
【p.23)
1(1) 階級値をx, 度数を
fとして右のような表を
つくると,平均値は,
f
121
これより,r=-
x
xf
11
1
11
13
11
13
よって,球の体積は,4(21)-28,21
27
15
2
30
1
10×160=16(°C)
17 内接球の中心をOとす
ると,Oと4つの面との
距離は等しく,右の図で,
OH=rである。
また,正三角錐OABC,
OACD, OABD,
OBCDは合同であるから, これらの体積をV,
正四面体ABCDの体積をVとすると, V=4V'
17
4
68
中央値は,5番目と6番
19
38
計
10
51
目の平均値であるから,
160
16~18の階級の1番目
5番目 6番目
B
と2番目の平均値にな
16
18
る。右の図のようにデ
中央値
ータが均等に分布して
いると考えて,16+(18-16)×-=16.5(°C)
ここで, 10と同様に考えて, BH=-
2/3
3
最頻値は,最も度数が大きい階級の階級値であ
るから,17°C
(2) データを小さい順に並べると,
9 10 10 11 12 12 13 13 14 16
AH=,/2?-
2/3
より,
3
V-(2nar),22
2/6
2,2
3
範囲は, 16-9=7(°C)
中央値(第2四分位数)は12°℃,
第1四分位数は10°℃ 第3四分位は13℃
四分位範囲は、
よって, 2sin60°),|×4=2
/2
3
V6
これを解いて,r=-
6
13-10
18(1) ZPAB=0として, △PABで余弦定理か
=3(°C)
箱ひげ図は
右のように
なる。
2 A駅について, データを小さい順に並べると,
45 5 6 6 8 8 8 9 9 9
9 10 12 15
仮平均を xo=9 として, 各データとの差の合計を
計算すると,
1
ら, cos0=-
8
2
ーだから。
0
5
10
15 (C)
PB=(8-x)?+4ー2(8-x)·4°cos@
=x-14x+64
PB=PCより,APBCで余弦定理から,
PB+PC°-BC°_ 2PB°-BC
2·PB·PC
COsa=
2PB?
2(x-14x+64)-16_x°-14.x+56
2(x-14x+64)
-14.x+64
(2) sina=/1-cos'a
+(9-9)-4+(10-9)+(12-9) +(15-9)=D-12
-14-