Question

あ

マーカー緑の変形が分かりません。

<3
2>
nは正の整数とする、 x* を(x+3)? で割った余りを求めよ.
*" を(x+3)?で割ったときの余りは1次以下の式で, ax+bと表せる。
*G
商をQ(x)とすると、
x* = (x+3)°Q(x)+ax+b
の
(2
p (i)n=1 のとき
Q(x)=0 で, xを (x+3)° で割った余りはx.
3
(i)n22のとき ①の両辺にx=-3 を代入すると
73
(-3)* = -3a+6
もつー式作水るうに
り.@.⑥で連立訪相
も
また,Oの両辺をえで微局すると
221.2.xt2100_..」zt2l.9w..t人 ③
0
3の両辺にx=_-3..を代入すると,
3
K
-a
(n-1)に→)
2, のより,a=n(-3)*-1 , 6 = (-3う)+ 3mに3)-
よって,余りは 一n(-3)*-!xー(n-1X-3)" - これは_Mlでも、以立
以上(i)(i)より, 求める余りは n(-3)"-!x-(n-1X-3)*
これは-1でも必立
(答)
別解二項定理を利用
xを(x+3)°で割った余りは 人し 一+ い
必
ず
n=1 のとき
n22 のとき
用
{a43)3)
-_Cat2)t..a.cL.b43)に3)+ 26. 3) +
x"
け
3
土.Ca-.Q3)-に3M tnla3) ) ん-230
ん-2
at3 kt)(う)an.lats)にに
1.れ.(at3).[-3)+[
ニ
よって, x" を(x+3)*で割った余りは
n(13)"-!xーn(-3)*+(-3)" = n(13)*-1xー(n-1(13)* (これは n=1 でも成立)
以上より,求める余りは n(-3)"-1x-(n-1X-3)"
(答)
参考余りの係数に関する漸化式を立てることもできる。