Question

あ

数2の計算の応用問題についてです。解答部分の、波線部分はどうしてそうなるのですか？

*74 (1) 次の等式を証明せよ。
(a+b+c)(x+y+z)+ax+by+cz
(2) aSb£c, x三yハz のとき,次の不等式を証明せよ。
[1] 2(ax+by)N (a+b)(x+y)
[2]3(ax+ by+cz)2(a+b+c)(x+y+z)

74 (1) 左辺=ax+ay+az+bx+by+bz
+cx+cy+cz+ax+by+cz
=(2a+b+c)x+(a+26+c)y+(a+b+2c)z
右辺=ax+ay+bx+by+by+bz+cy++cz
+cz+Cx+az+ax
=(2a+b+c)x+(a+26+c)y+(a+b+2c)z
よって、与えられた等式は成り立つ。
(2) [1) 2(ax+by)-(α+bXx+y)
= 2ax+2by-(ax+ay+bx+by)
=ax+by-ay-bx
=a(xー)-b(xーy)
=(a-b)(x-y)
aSb, xSyより, a-bs0, x-y<0である
(a-bXx-)20
2(ax+by)2(a+bXx+y)
等号が成り立つのは, a=b または x=y
から
よって
参考
のときである。
[2] (1)より,
(a+b+cKx+y+z)
=(a+b(x+y+(b+cXy+2)+(c+a\z+x)
-(ax+by+cz)
であるから, 不等式
3ax+by+cz)>
2(a+b(x+)+(6+cXy+z)+(c+aXz+x)
Cax+by+cz))
すなわち
4ax+by+cz)
2(a+bXx+y)+(b+cXy+z)+(c+aXz+x)
を示せばよい。
[1] と同様にして
bSc, ySz から
2by+20土Cナ
2
aSc, xS2 から
2(ax+C2)2(a+c)x+2)
の,
3の辺々を加えると
4(ax+by+cz)
2(a+b(x+y)+(b+cXy+z)+(a+cXx+2)
よって,与えられた不等式は成り立つ。
参者
墓号が成n立oのは