Question

まり

この問題解ける方いますか？
至急お願いします！！！

教 p.46 Level Up3
例題 a-b+c= 1, ab+bc-ca=4 のとき, 次
4
の式の値を求めよ。
2

展開

Answer 1

左右

こんなのはどうでしょう？

(a－b＋c)² = a²＋b²＋c²－2ab－2bc＋2ca
= a²＋b²＋c²－2(ab＋bc－ca)
よって
a²＋b²＋c² = (a－b＋c)²＋2(ab＋bc－ca)
= 1²＋2 × 4
= 9

Answer 2

きらうる

b=a+c-1　とする。これを代入して
a²+b²+c²
＝a²+(a+c-1)²+c²
＝a²+(a²+c²+1+2ac-2a-2c)+c²
＝2a²+2c²+2ac-2a-2c+1…①

また、ab+bc-ca＝4にも代入して
a(a+c-1)+c(a+c-1)-ca＝4
→　a²-a+ac+c²-c＝4
→　a²+c²＝a+c-ac+4

①の式に代入して
＝2(a+c-ac+4)+2ac-2a-2c+1
＝9

まり

①の代入まではわかったんですが、
2つ目の代入で分からなくなってしまいました…

まり

1番最後の①の式に代入すると何故9になるんですか

きらうる

ab+bc-ca＝4にもb=a+c-1を代入します。

a(a+c-1)+c(a+c-1)-ca＝4
→　a²+ac-a+ac+c²-c-ac＝4
→　a²-a+ac+c²-c＝4
→　a²+c²＝a+c-ac+4…②

a²+b²+c²＝2a²+2c²+2ac-2a-2c+1
と式変形しました。この式の2a²+2c²を2(a²+c²)にして、
＝2(a²+c²)+2ac-2a-2c+1
②の式を置き換えて
＝2(a+c-ac+4)+2ac-2a-2c+1
＝2a+2c-2ac+8+2ac-2a-2c+1
aやcはきれいに消えて
＝9