Question

ヘミョン

応用例題4の問題は場合分けをしていないのに、
65の⑵問題は場合分けをしている理由が、分かりません。
答えも添付しています！！
教えて頂きたいです🙇🏻‍♂️

「応用 次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのような
0
例題
ときか。
4
la+b|<lal+|6|
証明 両辺の平方の差を考えると
(lal+1|)°-la+6f=(laf+2|al||6|+16円)-(a+b)
=(α+2|ab|+6)1 (α+2ab+6')
=2(lab|-ab)20
la+bfs(lal+1b|)?
よって
la+b|20, lal+l6|20であるから
la+b|<la|+||
等号が成り立つのは, |ab|=abすなわち ab20のときである。

65 (1) 不等式 αーab+6°>a+b-1 を証明せよ。
(2) 不等式 2|a1-3|に|2a-36| を証明せよ。

|xーSxー2|+lyー2
よって
lab|2ab であるから
64 (d+l»)?-(V+y)?
ニ+2xy}+yー(x"+y)=2x20
(d+)*2(Vz?+y°)
+メ20, V+y w0 であるから
|+メ2V+y?
また((2Vx°+y)ー+)
-2°+yリー(x?+2xy|+y
=x?-2xy}+y=(Ix-l20
よってEVP+"2(d+lxp
V2、+ア20, |+l20であるから
2、?+y2+
0, ②から V+ <_ュ+lyい<E、
参考 左の等号はxy=0のとき, 右の等号は
||=lyのときに成り立つ。
labl-ab20
よって, ① から
2a-3|b20, |2a-36|20であるから
(2a- 3b|)?<|2a-36|°
2a-3|<|2a-36|
2a-3b<|2a-36|
よって
[1], [2] から
参考 等号が成り立つのは, 2a- 3|620 かつ
lab|= ab, すなわち 2al>3[b| かつ ab>0のと
きである。
6
66 指針 まず, 式に適当な値を代入して, 大小
の見当をつける。 0<a<b, a+b=2を満たす
数として, 例えば, a=ラ,
1
b=;をとると
3
a?+6?
a=
5
ab=
4'
2 4
2②
よって, 0<a<b, a+b=2のとき,
a<ab<1<
2
a?+6?
であると予想される。
これを不等式を用いて証明する。
0<aくb, a+b=2から
65 (1) (α'-ab+6) (a+b-1)
=a°-(b+1)a+6?-b+1
ャ… 1)
また,b=2-aから
-(-"リ-(0
b+1\?
6+1\2
ab=a(2-a)=2a-a'
+6°-b+1
2
a?+6?
a?+(2-a)?
=α"-2a+2
2
2
b+1\2
3
62.
3
2
4
[1] ab>aを示す。
ab-a=a(b-1)
<も
6+1\?
3
a>0であり,①より, b-1>0であるから
2
4
a(b-1)>0
b+1\2
a
3
よって
ab>a
2
[2] 1>abを示す。
よって
a?-ab+6°2a+b-1
のから
1-ab=1-(2alα')=α'-2a+1
参考 等号が成り立つのは, a=
b+1
かつ b=!.
2
=(a-1)?
0より,aキ1であるから
すなわち a=b=1のときである。
(2) [1] 21a-3|b|<0 のとき
12a-36|20であるから, 不等式は成り立
[2] 2al-3|b20 のとき
の
よって
1>ab
a?+6°
2
>1を示す。
両辺の平方の差を考えると
a?+6?
-1=(α°-2a+2)-1
2
③から
|2a-362-(21a|-3|b)?
=(2a-36)?-(4a?_12|a||6|+96°)
=a?-2a+1=(a-
= (4a?-12ab+96?) (4a?-12|ab|+96)
=12||ab|-ab)
3|2

絶対値 不等式 式と証明 等号成立 数学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

|a+b|も|a|+|b|も正だから、場合分けは不要です。