Question

グェスト

65番の問題詳しく解説お願いします！！

659k20, y>0 のとき, x, yの関数 f(x, y)=x"-4xy+5y"+2y+2 の最小値
を求めよ。また,このときのx, yの値を求めよ。
【北星学園大)
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Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

としさん

こんな感じではないでしょうか。

x² - 4xy + 5y² + 2y + 2

= (x² - 4xy + 4y²) + (y² + 2y + 1) + 1

= (x - 2y)² + (y + 1)² + 1

ここで
　(x - 2y)² ≧ 0 　で 　x = 2y であれば 最小値 (x - 2y)² = 0 となる。

　(y + 1)² ≧ 0 だが y≧0 なので、 y=0のとき 最小値 (y + 1)² = 1　となる。

(x,y) = (0, 0) であれば ともに最小となる。

ゆえに f(x,y) ≧ 2 となり　(x,y) = (0, 0) 。

グェスト

質問なんですけど、
1、f(x,y)ってどうゆう意味ですか？
2、最終行で、なぜf(x,y)≧2となるのですか？

としさん

随分空いてしまいましたが

1. f(x,y) … 独立した(任意に値を決めて良い)変数 x,y を持つ関数　です。 xとyはそれぞれ無関係に値を入力できます。

2. f(x,y) = (x - 2y)² + (y + 1)² + 1　となったところで (x - 2y)² , (y + 1)² はそれぞれ0以上の値となります。

　　x,y は独立して決めて良いので それぞれの値の最小値を足した値　より小さくなることはありません。

　　　　(y + 1)² は yの値だけで決まります。(xの値には無関係に最小値が決まります)　2乗なのでマイナスにはなりません。

　　　　(x - 2y)² は x,yの2値の関係で決まります。 2乗なのでマイナスになることはありません。

　　よって、 (y + 1)² の最小値 は y=0 のときで (y + 1)²≧1

　　　　　　　(x - 2y)² の最小値は x = 2y のときで　(x - 2y)²≧ 0

　　　　この y=0 , x = 2y は矛盾しない　(片方が y=0 で最小、もう片方がy=1で最小だと、このやり方では求まりません)ので

　　y=0,x = 2y のとき f(x,y)は最小値 2 を取ります。

グェスト

本当にありがとうございます。
ずっと待ってました。