Question

パラシテ

(3)のマーカー部分について質問で、上の方にn<100-√102、100+√102<nとあるのにどうしてマーカー部分は100+√102だけになっているのですか？

数列{an} が次の式によって与えられているとする。
401
1
1
16
1
an
(1) 2=1, 2, 3, 4 に対して, それぞれ 2(n+1)an の値を求めよ。
(2) an の一般項を推定し,推定した式がすべての自然数nに対して正しいこ
とを数学的帰納法を用いて証明せよ。
一一2
1
100
を満たす最小のnを求めよ。
[11 首都大東京]
(3) an>
n?
2

(2)(1)の結果より 2(n+1)an=n+2
n+2
すなわち
An
と推定できる。
これがすべての自然数nに対して成り立つことを数学的帰納法で証明する。
3
[1] n=1 のとき a =
3
- 2×2
より,①は成り立つ。
4
k+2
[2] n= k のとき,①が成り立つと仮定すると
ak
三
このとき
中…(4--
(を+ 1){1
1
ak+1
(k+2)?
-a1-
1
(k+2)?
k+2
k+2
ニ
(k+2)?
(k+2)?
k+3
2{(k+ 1)+ 1}
となり,n=k+1のときも① は成り立つ。
2(k+2)
n+2
[1], [2] より,すべての自然数n に対して an =
が成り立つ。

1
an >
2
100
n?
n+2
1
100
2
n
2
n+2
1
100
2
n?
1
100
2
n
n?> 200(n +1)
n? - 200n - 200 > 0
n? - 200n - 200 = 0 の解は
n= 100 ±V1002 - (-200)
100 + 10V102
より,n? - 200n - 200 > 0 の解は
n<100 - 10V102, 100 + 10V102 <n
ここで
ニ
10<V102 < 10.1
より
200 < 100 + 10V102 < 201
よって、題意をみたす最小の nは
n= 201

Answer 1

らい

√102が10より大きいことから100-10√102が負の数になるからです