Question

あさの

17についてです。
解答に書いてある式などは分かるのですが、両辺のXｎ乗の項の係数が等しいのはなぜなのか分からないので教えていただきたいです。よろしくお願いします

) の項の係数](2) (2xー)[定数項]
<発>展問題
16 11"を100で割ったときの余りを求めよ。
17 等式(1+x)"(x+1)"=(1+x)?" を用いて, 次の等式を証明せよ。
C+,C,?+……+,C%?=2nCn
18 (1) .C=na-iCh-1 (k=1, 2, …, n) が成り立つことを証明せよ。
(2) (1)を用いて,等式 ,Ci+2,C2+3,Cs+………+n,Cn=n·2"-1 を証明せよ。
16> 11"=(10+1)"
17> (1+x)"(x+1)"=(1+x)"" において, x"の項の係数を比較する

x5 の項は2p+q=5のときで,20, q20であ
p!q!r!
1Co-10°+1C;- 10°+1,C2-107+….+nCg+1
は整数であるから, 求める余りは
4!
ー(11).2'x20+4
p!q!r!
p+q+r=4, 0, 920, y>n
三
11
ただし
p=0, 1, 2
るから
よって, 2p+q=5 とp+q+r==4を満たす旬で
ない整数 p, 9, rの組は
×(, Cox"+,C;x"ー1+…………+,C,)
=,Cd, Cox" +, C,xガー1+…………+,C,)
+,C;x(, Cor"+,Cjx"-1+… +,C,)+
…+,C,x"(,Cor"+,Cjx"-!+… +.C.)
(1+ x)"(x+1)" の展開式において, x" の項の係
C+,C?+…
また, (1+x)2» の展開式の一般項は
よって,x" の項の係数は
両辺のx"の項の係数は等しいから
C?+.C?+
したがって, 求める係数は
4!
4!
(-1)).2'=D-22
1!3!0!
数は
(2) 展開式の一般項は
Cr
10!
C。
p!q!r!
10!
*2(-1)'x9+2r
p!q!r!
p+q+r=10, pz0, q20,
x*の項は q+2r=3のときで, qN0, r
+,C,?=,C,
ただし
18 (1) k,C,=Dk…
n!
k!(#-k!
かこ