基本例題 29 整数解の組の個数(重複組合せの利用)
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DOOOO
+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z)は何個あるか。
キv+z=6 を満たす正の整数解の組 (x, y, 2) は何個あるか。
p.267 基本事項 8, 基本 28
SOLUTION
CHARTO
3
○と仕切り|の活用
(1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は, 7個の〇と2個の
仕切り|の順列を考え,仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を、 左から
順にx, y, z とすると得られる。例えば
○○○I○○|○○ には
1○○I○
(x, y, 2)= (3, 2, 2)
には
(x, y, z)=(0, 2, 5)
がそれぞれ対応する。
(2) 正の整数解であるから, x, y, zは1以上となる。そこで, x-13DX,
y-1= Y, z-1=Z とおき, 0であってもよい X20, YZ0, zZ0 の整数解
の場合(1)と同じ)に帰着させる。これは, 6個の○のうち, まず1個ずつをx。
y,るに割り振ってから,残った3個の○と2個の仕切り|を並べることと同じ
である。
*Eとはり以大きいこと。
解答
(1) 求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個の|を1列に
*3つの部分に分けるには、
3-1=2(個)の仕切り
並べる順列の総数と同じで
が必要。
9·8
-=36 (個)
2-1
TO2
9!
9C,=C2=
でもよい。
2!7!
別解 求める整数解の組の個数は,3種類の文字x, y, 2 から
重複を許して7個取る組合せの総数に等しいから
sH,=3+7-1C,=gC,=C2=36 (個)
(2) x21, y21, z>1 から
ここで, x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと
x-120, y-120, (2-120
)99
X+Y+Z=6-3=3
よって, 求める正の整数解の組の個数は, 3個の○と2個の
「を1列に並べる順列の総数と同じで
別解 sH=s+3-1Cs
=C=sCa
=10(個)
白 ()
C-=Ca=-10 (個)
5.4
2-1
仕切り」は、両端に入れ
ることはできない。
り解 ○を6個並べる。 求める正の整数解の組の個数は、 ○と
○の間5か所から2つを選んで仕切り」を入れる方法の総数
と等しいから
5C2=10(個)
ACE 30g
2行目のプラス3は元の式と同じにするための3ですか？