参考・概略です
準備
x＋(1/x)＝3
●2乗して
x²＋2＋(1/x²)＝9
●整理して
x²＋(1/x²)＝7 ･･･ ①
●{x＋(1/x)＝3}をかけて
{x²＋(1/x²)}{x＋(1/x)}＝7×3
●計算し
x³＋(1/x³)＋x＋(1/x)＝21
●{x＋(1/x)＝3}なので
x³＋(1/x³)＋3＝21
●整理して
x³＋(1/x³)＝18 ･･･ ②
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(1)
●①を2乗して
x⁴＋2＋(1/x⁴)＝49
●整理して
x⁴＋(1/x⁴)＝47
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(2)
●①×②で
{x²＋(1/x²)}{x³＋(1/x³)}＝7×18
●整理して
x⁵＋(1/x⁵)＋x＋(1/x)＝126
●{x＋(1/x)＝3}なので
x⁵＋(1/x⁵)＋3＝126
●整理して
x⁵＋(1/x⁵)＝123
ありがとうございます!!