Question

いがみ

一枚目が問題で、二枚目が解答（自分で解いたやつ）、三枚目が模範解答です。
チャートの問題なのですが、どうしてもわからなかったので、質問しました。
①まず、場合わけのやり方がわかりませんでした。
なぜこのような場合わけがされているのかを教えてほしいです。
②次に最小値はなぜf（a）＝であらわせるのか、
またそのあとの計算方法（最小値の求め方）
もおしえていただけると嬉しいです。

全体的に理解不足なのはわかっています💦
授業でついていけなかった分、追いつけるようにしたいので
数学が得意な方やこの問題解けるぞ、という方、もしよろしければ教えていただきたいです🙇‍♀️💦

2. a は正の定数とし, 2次関数 f(x)=x°-2ax+2a (0Sx<2)の最小値をm(a)と
する。このとき, m(a)の最大値とそのときのaの値を求めよ。
青チャート基本例題81

第2 節
2次間数の値の女化
2」
f (x)= x- 2ax +2a (0 )
(x
-a)-α+2a
より軸はa
(下に凸)
LJ0< a S2 のとき
ス=のでで最小をとる
最山値はf(a) -α+2a
X=0
X-2.
X:a
最小

解答
関数の式を変形すると
f(x)=(x-a)°-a'+2a
まず,基本形に直す。
ソ=f(x) のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=a
[1] 0<a<2のとき
図[1] から、x==aで最小となる。
最小値は
[2] a>2のとき
図 [2] から,x=2 で最小となる。
最小値は
(軸が区間の内
a>0であるから,軸が区
間の左外は調べなくてよい。
f(a)=-a°+2a
4軸が区間の右外
f(2)=-2a+4
01
|軸
最小
最小
x=0 x=a x=2
x=0 x=2 x=a
-α'+2a (0<aハ2)
-2a+4(a>2)
-a+2a=-(aー1)°+1
ゆえに,b=m(a) とすると, そのグ
ラフは右の図の実線部分のようにな
[1], [2] から
m(a)=
ここで
40<as2において、
b=m(a) のグラフは上に
凸の放物線で、軸は直線
a=1, 頂点は点 (1, 1) で
る。
したがって, m(a) は a=1 で最大
値1をとる。
1
0
1
ある。

二次関数 数i 最大、最小 高校数学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

家庭教師K

自分でここまで考えて、どこがわからないかハッキリさせてるのがとてもえらいです、、！えらそうにすいません💦

まず、場合分けですが、いがみさんが求めた『軸』の位置が大切になってきます。

いまグラフが定義されているのは0≦x≦2の範囲ですよね？
この時の場合分けは、①軸:x=aが0≦x≦2の範囲にある時と、②軸:x=aが0≦x≦2の範囲にない時の２つです。

①の時は、0≦x≦2の範囲に軸があって、下に凸なのでx=aで最小値です。

②の時は、0≦x≦2の範囲に軸がなくて、しかもaは正の定数なので、a>2となります。チャートの解説の右側のグラフのようになって、x＝2の時に最小値となります！

aは正の定数なので、軸が0より小さいことはないので今回は①と②の場合分けでしたが、『aは正の定数』という条件が無ければ、軸が0より小さい可能性もありますので、③a<0のとき、っていう場合分けもしなきゃになります。

二つ目の質問の、なぜf(a)が最小値になるのかですが、これは軸:x=aが0≦x≦2の範囲にあるからです！②の時はf(a)じゃなくてf(1)が最小値ですよね？これは、f(a)が0≦x≦2に入ってないからf(a)は最小値になりませんでした！

最小値の求め方は、、グラフをかいて、xの範囲をみて、1番yの値が小さくなりそうなxの値を見つけて、xに代入です！

長くなってしまいました💦
わからないところ有れば説明するので言ってください！

いがみ

遅れてしまいすみません。
丁寧な説明ありがとうございました😭
もう一度解いてみようと思います。
本当にありがとうございました。