Question

わかな

この筆算の仕組みがよく分かりません、、
どのような場合にこの形を使うのか、式の仕組みを教えて欲しいです💦

応用
例題
次の数列の和 Snを求めよ。
1·1, 2.2, 3-2?, 4·2°,
1
考え方
この数列の一般項は,等差数列
の一般項nと等比数列の一般項
2"-1の積の形になっている。
n·27-1
等差数列の一般項 n
5
1·1+2-2+3-22+4-23++n·2"ー1
このような数列の和では,
等比数列の一般項 2"-1
1, 2, 2°,
27-1
の公比2を用いて Sn-2Sn を考えるとよい。
解
10
Sn=1·1+2·2+3·2°+4·2°+
+n-27-1
において,①の両辺に2を掛けると
2Sn = 1·2+2.2°+3·2°+·
の-2 より
S,=1·1+2-2+3-2°+
-)2S,=
- S,=1·1+1·2+1·2°+
+ n-2"-1
1-2+2-2°+
n-1
+1-2"-1
ーn-2"
- Sn=1·1+1·2+1·2°+1·2° +
+1-2"-1-n·2"
+ 2"-1_n·2"
15
27-1
-n·2"
2-1
は,初項 1,公比 2,項数n
の等比数列の和
= 2"-1-n2"
よって
Sn= - 2"+1+n·2"
= (n-1)-2" +1
練習13 次の数列の和 Sn を求めよ。
20
1-1, 3-2, 5-2°, 7-2°, ……, (2n-1).2"-1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

rec

教科書の通りですが、(等差数列)×（等比数列）型の数列の和Snを求めるときにこのやり方を使います。
問題文に与えられた数列を全部（第n項まで）足したものが和Snです。
この数列、先程言った通り、(等差数列)×（等比数列）型ですから、Snの全ての項に公比（この問題では2）を掛けると、等比数列の部分の次数が1ずつ上がり、問題文のように一つずらして書くことができます。（ちなみに全ての項に公比をかけているので、当然左辺のSnにも公比が掛かって2Snとなっています。）

次に、公比を掛けた数列の和2Snと元々の和Snを引き算すると、先程ずらした項の部分は結局、等差数列の公差×等比数列の形となります。

最初の (等差数列)×（等比数列）型 のままでは、いわゆる初項が変化する等比数列となっており、ふつうの等比数列の公式が使えない状態でしたが、上記のやり方によって、ふつうの等比数列の和の公式が使えるようになります。

わかな

すごく分かりやすかったです💦
ありがとうございました🙇‍♀️！