610 第9章 平面上のベクトル
例題 349 ベクトルと軌跡
平面上に△ABC があり, 実数kに対し、
3PA+4PB+5PC=kBC
を満たして動く点Pがある。このとき、次の問いに答えよ。
(1) kがすべての実数値をとって変化するとき, 点Pの描く図形を図示
せよ。
(2) APAB, △PBC の面積をそれぞれ, Si, S2とするとき,
Si: S2=1:2 となるようなkの値を求めよ。
考え方(1) 点Aを基点として, AB=6, AC=¢, AP=D とおいて与式に代入し、
b=●+kの形に変形する. (万は, を通り, に平行な直線)
△ABCの面積をSとし,まずはSI, S2をそれぞれSで表す。
(1)点Aを基点とし, AB=6, AC=C, AF=6 とおく。
3PA+4PB+5PC=kBC より,
3(-)+4(5-)+5(c-)=Dk(E-6)
12万=45+5c-k(-す)
46+5c_k
解答
kを含まない部分
(動かない)と,えを
む部分(動く)に分
カー
12
12
3 46+5c
k
る。
4
9
12
9
3
線分 BC を5:4 に内分する点を D, 線分 AD を
3:1 に内分する点をEとすると,
12
A
BC-AE-,BC
よって,点Pは点Eを通り辺BCに平行な直線上
12
El
P
にある。
その直線と辺 AB, ACの交点をF, Gとすると,
D~4-C
AF:FB=AG: GC
A
=AE:ED
=3:1
であるから,点Pの描く図形
は,右の図の直線FGである。
をがすべての実数
とるので,直線FC-
なる。
F!
1
P
B
(2) 直線 AP と直線 BCの立上
円
|4
