Question

しんじ

まず問題の意味がわからないから何を求めるのかがわかりません。
それと、なんで
a＞０のとき、１＜X＜５を満たすすべてのXが、X＜aまたは２a＜Xを満たせばいい
となるのかも教えて欲しいです。

[2」次の問題について, 太郎さん、花子さん, 先生の会話を読んで, 以下の問いに答えよ。
問題 不等式a(x-a)(x-2d) 0 ①がある。ただし、 aは0でない定数とする。
1<x<5 を満たすすべてのxが不等式①を満たすとき, aのとり得る値の範囲を求めよ
太郎:不等式のの左辺はxについての2次式だから, グラフで考えてみたらどうかな。
花子:xについての2次関数 y=a(x-a)(x-2a) のグラフは, a>0 のとき,
ア)
a,-2a
入 30多
a<0 のとき、
2
(イ)
のようになるね。
8
大郎:グラフを参考にして不等式1を解くと,a>0 のとき,
スうー本)
La
(ウ)
a<0 のとき。
al1-a)(1-2a)
a-3a420
に当てはまるグラフを,次の1~4のうちから一つずつ選び,番号
だね。
う 0-(1
先生:では, ここまでの結果を用いて問題を解いてみましょう。
は=a,2a
ア)
で答えよ。
2
3
気 0-(0 )
3
x
ら
4
a| 2a o 2a)
a
2
2 x
2a
a
X
また。
(ウ)
に当てはまるものを, 次の1~4のうちから一つずつ選び, 番
エ)
号で答えよ。
1)a<x<2a 2 2a<xくa
くa, 2a<x
4 く2a, aくx
(2) 岡題を解け。
(配点 10)
ニ38キ2a20
4くx<8
ax-3t 2at
V)

a>0 のとき,1<x<5 を満たすすべてのxが、x<aまたは 2a<x ③
を満たせばよい。
(i) x<aを満たすとき
3③
3
イ数直
等号の
5Sa
X
1
5a
2a
(i) 2a<x を満たすとき
等号。
2aS1
3
3
これと、a>0より
0<aミ
2a 1
5
a
3VOS
(i), (i)より
0<as, 5Sa
1
2?
また,a<0 のとき,1<x<5 を満たすすべてのxが,2a<r<aを満
たせばよい。しかし, a<0より,そのようなaの値は存在しない。
以上のことから, 問題の答えは
na
0<aS
2
0<ad 55a
Aa>0 のとき, 題意を満たすための条件を考察することができた。
完答への
道のり
③ a>0 のとき, 条件を満たすaのとり得る値の範囲を求めることができ
aく0 のとき,条件を満たすaの値が存在しないことを示すことがで
開題を解くことができた。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

インポスター

そもそも、（1）の（ア）〜（エ）ができないと（2）もできません。
（ア）a＞0ってことは、グラフは下に凸。x軸に交わる点はx＝a,2a。a＞0だから、a＜2a
よって、選択肢の"1"が正解。

（イ）a＜0ってことは、グラスは上に凸。x軸に交わる点はx＝a,2aだけど、a＜0だから、2a＜aです。
よって、選択肢の"4"が正解。

（ウ）a＞0のとき①を解くと、x＜a,2a＜x。よって、選択肢の"3"が正解。

（エ）a＜0のとき①を解くと、2a＜x＜a。よって、選択肢の"2"が正解。

（2）添付した写真の（1）の選択肢"1"が、a＞0のときの正しい不等式①のグラフです。
そして、写真の赤色の斜線部が、a(x−a)(x−2a)＞0です。1＜x＜5がこれを満たす、すなわち、
1＜x＜5(写真の緑部分)が写真の赤色の斜線部に含まれていることが求める上での条件です。
つまりa＞0のもとで、定義域の最大値である5がa以下で、定義域の最少値である1が2a以上であればOK ということです。
またa＜0のとき、定義域1＜x＜5は正の値ですが、2a＜x＜aと負の値となってしまうので、不適となります。
以上より、0＜2a≦1,5≦aを解いて、
0≦a≦1/2,5≦a が求める答えとなります。

（1）も（2）も、2次不等式が完璧だと両方基礎的な問題になります。
頑張ってください。

しんじ

ありがとうございます、助かりました！
がんばります！