「p.388, 389 基本事項8,8
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基本 例題 102 最小公倍数から自然数の決定
次の条件を満たす自然数nを, それぞれすべて求めよ。
(1 nと16の最小公倍数が144である。
nと12と50 の最小公倍数が 1500 である。
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CHART O SOLUTION
最小公倍数からもとの自然数nを決定する問題
の与えられた自然数, 最小公倍数を素因数分解する
2 nの素因数の組み合わせを見つける
(1) 16 と144を素因数分解すると
よって, nを素因数分解すると, その素因数には 3° が含まれる。あとは、外。
共通するから, nを素因数分解したときの 2°の指数aについて考える。
(2) 12=2°-3, 50=2-5°, 1500=2°.3·5° であるから, n=2°.3*.53 の形。
16=24, 144=2*.3°
解答
(1) 16 と144 を素因数分解すると
16=24, 144=2*3°
よって, 16 との最小公倍数が144である自然数nは
n=2°-3° (a=0, 1, 2, 3, 4)
- 16=2*-3°
*最小公倍数が素因数3
と表される。
を2個もち,16は素因
したがって, 求める自然数nは
イad n=D2°.3°, 2'-33, 2°.3°,2°.33, 2*.3°
すなわち n=9, 18, 36, 72, 144
(2) 12, 50, 1500を素因数分解すると
数3をもたないから,n
は素因数3を2個もつ。
12=2°.3, 50=2·5°, 1500=2°·3·5°
よって, 12, 50 との最小公倍数が 1500 である自然数nは
1=2°:3°.5° (a=0, 1, 2; b=0, 1)
と表される。
*最小公倍数が素因数
を3個もち, 12は素
数5をもたず,50は
因数5を2個しかもた
ないから,nは素因数
を3個もつ。
したがって,求める自然数nは
n=2°-3°·5°, 2'-3°·5°, 2°-3°·5°,
すなわち n=125, 250, 500, 375, 750, 1500
