Question

マヤ

この問題の解説の不等号の形がわかりません。どうして（ⅰ）の範囲は<=なんでしょうか？

頻出問題にトライ·6
7
x2
難易度
CHECK.
CHECK3
CHECK
関数f(x) = x°-4.x+4の定義域がp-1<xハp+1における最小値を m,
最大値を Mとおく。
(1) m をpで表せ。
(2) Mをpで表せ。
(神戸学院大* )
解答は P251
分析

=3(3k"+4k +1)+1
余り
m=f\p+1)=(p+1-2)°
= (p-1)"
(i)p-132<p+1, すなわち
公倍数
(答)
(終)
は1のみである。
で割ったときの余りは0と1だけで、
1<ps3のとき, 図2より
クだ
m=f(2) = (2-2)°=0 ……(答)
()2<p-1, すなわち
3<pのとき,図3より
m=f(p-1) = (p-1-2)
2)
いというコト。
大事だからぜひ覚えておいてくれ!
KeRaの2乗
mne
またはがが3の倍数。 " (*)
= (p-3)
酵数。
が成り立つことを,背理法により示
。(ただし, a, b,cは整数)
すなわち, a'が3の倍数でなく, か
っがも3の倍数でないと仮定して,
予盾が生じればよい。
(1)の結果より, α'を3で割った余り
または1だけなので, α'が3の : (2) f(x) の p-1Sxsp+1 における最
…(答)
図1
図2
図3
y=f(x)
y=f(x)
最小値 m
最小値 m
=p-1)
最小値m
y=f(x)
=(2)
P-1 p+12
P-12 p+1 x
2p-1p+1
倍数でなければ,
d=3M+1……① (M: 整数)
同様に,6°も3の倍数でなければ,
B= 3N+1
a'+b° =c°に代入すると
大値を Mとおく。
区間 p-1SxSp+1の中点が
……2(N:整数)
=pとなることに注
2
0,0を,
『=3M+1+3N+1
=3(M+N) +2 となる。
意して,場合分けする。
(i)p<2のとき,図4より
M=f(p-1)= (p-3) ……(答)
(i)2<pのとき,図5より
2c M=f(p+1)= (p-1)? ……(答)
(余り)
を3で割って, 2余ることはない
ので,これは矛盾である。
以上より,背理法によって, 命題
(*)は真である。
図4
最大値 M=f(p-1)
図5
最大値 M
=F(p+1)
y=f(x)
y=x)
(終)
p-12|P+1x
頻出問題にトライ·6
|2 p+1
p
p-1
0f(x) = x°- 4x+4=(x-2)
頻出問題にトライ·7
p-1Sxsp+1 における f(x) の最
小値を mとおくと,(頂点のx座標
(i)p+1S2,すなわち
T
(1)-2r°+r°-4x+4=0…0
とおく。x=0 は①をみたさないから
rキ0 0の両辺をr(キ0) で割って
PS1のとき,図1より
251

Answer 1

たこ焼き

p+1<2でも良いですよ

マヤ

なんで=が付けられてるか分かります？
付けてしまったら最小値が変わってしまいますよね？

たこ焼き

最小値は変わりませんよ
もしかして、p+1≦2にすると、最小値はx=2のとき0になる、って思いましたか？

マヤ

(ⅱ)のところで2を代入して0になってるので2は0ですよね？

たこ焼き

x=2のとき0になりますが、p+1≦2のときの最小値はx=2のときではなくx=p+1のときになります。軸であるx=2がx=p+1の位置に重なった場合は、最小値はx=2のとき、とも言えますし、
x=p+1のとき、とも言えますよね。でも、軸であるx=2がx=p+1より右側にきた場合は、
最小値はx=p+1のとき、ですよね。
すなわち、p+1≦2のときの最小値はx=p+1のときになります。

わからない場合は明日詳しく説明しますね。