基本例題
1から30 までの自然数の積 30!=30·29… .2.1 をNとする。 Nを素因数
分解したとき, 次の問いに答えよ。
(1) 素因数2の個数を求めよ。
(3) Nを計算すると, 末尾には0は連続して何個並ぶか。
105 n! に含まれる素因数の個数
3
0|OO
D0
(2) 素因数5の個数を求めよ。
p.388 基本事項項3
CHART
lOLUTION
n!=n·(n-1) 3·2·1 の素因数 kの個数
1からnまでのkの倍数, k°の倍数,
1からnまでの自然数の積 1·2·3… (n-1)·n
をnの階乗といい, n!で表す (b.254 参照)。
(1) 30 以下の自然数のうち, 2の倍数,
2° の倍数,2° の倍数,
30!に含まれる素因数2の個数になる。
なお, n以下の自然数のうち, aの倍数の個
数は, nをaで割った商として求められる。
(3) 素因数2と5を掛けると, 末尾に0が1個現れる。
の個数の合計
2468…
16
- 28 30
2
の個数の合計が、
22
2°
2
解答
(1) 1から 30 までの自然数のうち
2の倍数の個数は, 30を2で割った商で
2°の倍数の個数は, 30 を 2° で割った商で
2°の倍数の個数は, 30を 2° で割った商で
2* の倍数の個数は, 30を 2* で割った商で
よって,素因数2の個数は
(2)(1) と同様に, 5の倍数は6個, 5° の倍数は1個あるから,
素因数5の個数は
15(個)-
7(個)
- 30 を4で割ったとき
商は7,余りは2
3(個)
1(個)
- 2=32>30 であるから,
2° の倍数の個数は0個。
15+7+3+1=26 (個)
合それぞれ 30-5, 30÷5°
の商。
6+1=7(個)
(3)(1), (2) から, Nを素因数分解したとき, 素因数2は26個、
素因数5は7個ある。
2-5=10 であるから, Nを計算すると, その数の未末尾には0
は連続して7個並ぶ。
合素因数5の個分だけ
0が
