Question

きなこもち

(2)で[2]の時個数が2個とあるのですがなぜ2個あるのか教えてください

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重要例題126 三角方程式の解の個数
aは定数とする。0<0<2π のとき, 方程式 sin'0-sin0=a について
(1) この方程式が解をもつためのaのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) この方程式の解の個数をaの値によって場合分けして求めよ。
基本125
CHARTO
S
lOLUTION
方程式 f(6)=a の解
2つのグラフ y=f(0), y=a の共有点
sin0=k (0<0<2π) の解の個数 k=D±1 で場合分け
0の個数は
k=±1 のとき
1個,-1<k<1 のとき
2個
kく-1,1<k のとき
0個
解答
a0
sin°0-sin0=a
sin0=t とおくと
ただし,0<0<2π から
したがって,方程式①が解をもつための条件は,方程式 ②
が③の範囲の解をもつことである。
方程式2の実数解は, 2つの関数
-t=a
4
-1StS1 ③
全0S0<2π のとき
-1Ssin0<1
y=ーt
|2
ソードー1-(一)ーー
=?-t={
ソ=a
ソ=a
のグラフの共有点のt座標であるから,
2
図から
as2
0
4
コ(2) (1)の2つの関数のグラフの共有点のt座標に注目すると,
方程式0の解の個数は, 次のように場合分けされる。
[1] a=2 のとき, t=-1 から
[2] 0<a<2 のとき, -1<tく<0 から
[3] a=0 のとき, t=0, 1 から
1個
* sin0=t を満たす@の
値の個数は,tの値1個
2個
に対して
3個
t=±1 のとき 1個
[4] -<a<0 のとき, 0<t<1 に交点が2個存在し, そ
-1<t<1 のとき 2個
れぞれ2個ずつの解をもつから
4個
[5] のとき, t=; から
a=ー-
4
2個
2<a のとき
0個
4
PRACTICE…126°
の
aを定数とする。方程式 4cos'x-2cosx-1=a の解の個数を -元くx冬π の範囲
で求めよ。
【類 大分大)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

塾講師 「たおたん先生」

0<a<2の時、グラフで考えた時の交点は確かに1個ですね。
その交点のt座標は-1<t<0なので
t=sinθより　　　-1<sinθ<0
そのようなθは　0≦θ<2πの範囲で必ず2個答えがあります。

つまりtとしての解は1個(グラフでの交点の数と同じ)だが、その1個のtの値からθの値を考えた時に解が2個になるということです。

きなこもち

ありがとうございます