Question

ゆうっちょ

｢数学 ベクトル なぜ？｣
写真の問題2の（2）ですが、3枚目の絶対値(b+d+e)^2がなぜ3になるのでしょうか？
分かる方説明をして欲しいです。よろしくお願いしますm(_ _)m

A
+ cos
2
B
+ cos
2
sin4 + sinB+ sinCS cos
2
問題2.
(選択)
1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがあります。 3点
D
C
B, D, Eを通る平面をαとおき, 3点C,F,Hを通る平面を
Bとおきます。また,対角線AGとa,Bとの交点をそれぞれP,
A
B
H
Qとおきます。AB=D6, AD= d, AE=e として, 次の問い
G
に答えなさい。
E
F
(1) PQをも, d, e を用いて表しなさい。
(2) 四面体PCFHの体積を求めなさい。

ぞれにおいて等号が成り立つことから
A=B=C=60°である。 よって, △
ABCは正三角形である。
とみたときの高さはPQ|=+d+d
に等しい。
6+4+eP=(b+d+e)(b+d+e)=3
正三角形
より IPQ|=
問題2(1) 条件より
AC=6+d, AF=6+
AH=d+c AG=b+d+e
3
6,6より四面体PCFHの体積は
×3x3。
6
3
点Pは線分AG上の点であるから
AP=kAG=k(b+d+ē) (0<k<1).…①
問題3 A(p, g)における接線の方程式は
点Pは3点B, D, Eを通る平面α上の点
でもあるのでk+k+k=1
pa
62
--1 0
b
①と漸近線 y=との交点の座標は,
k-よってAP=AG
2式を連立方程式として解くと,
一方,立方体の対称性より
GQ=-AP….③
a
6
P_g' p_qである。
a b a
b
2,3より
b
わを一6で置き換えて, ①と漸近線y=-
AQ=AG+GQ
a
a
b
との交点の座標は, P+
一→
一ト
=AG-AP= AG…
g?
b
a
2,のより
よって△OSTの面積は
PQ=AQ-AP=
ーb
-X
P
b
-X
P
1
a
a
2|P
9
9
b
p
g
答 PO-}6++d)
(2) ACFHは1辺の長さが、2の正三角
a
b
a
a
a
-2ab
ab
p2
g2
|p2
2
2
¥3
2
次に同=d=l|=1および
形であるから,その面積は
62
ここで分母はA(p, 9)が双曲線上にあって
つねに1に等しいので、面積はabであるこ
とがわかる。とくに点Aのとり方によらな
い。以上より、△OSTの面積は点Aのとり
方によらず一定であることが示された。
…D
CF-AG=(AF-AC)· AG
=(c-d(5+d+=0
CH-AG=(AH-A)· AG
=(C-6-(6+d+)=0
よってAGは平面8の法線ベクトルで
あり,四面体PCFHの(△CFHを底面
4f0=92=3-P=P-9
問題4(1) 条件よりA*-B=0
ケーリーハミルトンの定理より
4=pA-qE(p=a+d,q=ad-be)…②
これを①に代入して
O=A4-E
| 9_5

とみたときの高さはIPQ|=}6+d+d
に等しい。
16+d+el?=(b+d+e)·(b+d+e)=3
より IPQ|=
/3
3
9.
⑤,6より四面体PCFHの体積は
×3x3.
1
6
ニ
2
3
問題3 A(p, g)における接線の方程式は
pE
9Y
62
=1 ·①
b
と漸近線 リ=D2ェとの交点の座標は、
a
2式を連立方程式として解くと,
a
b
P q,p g
b
9である。
b
a
b
あを一6で置き換えて,①と漸近線y=
b
a

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Jin

b+d+e
=AB+AD+AE
=AB+BC+CG
=AG

ここで、三平方の定理より|AG|=√3ですから、|b+d+e|²=|AG|²=3
となります。

ゆうっちょ

Jinさん
ありがとうございます。わかりやすい解説ためになりました！