Question

siba

数ⅠA
解き方と解答教えてください！

V2-V7 が無理数であることを証明せよ。
(ただし,V14 が無理数であることを使ってよい。)
と

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

塾講師 「たおたん先生」

√2-√7が有理数だと仮定する・・・(ア)
すなわち√2-√7=k ・・・①(ただしkは有理数)
①の両辺を2乗して
2-2√14+7=k^2
9-2√14=k^2
-2√14=k^2-9
√14=(k^2-9)/(-2)・・・②
②の右辺はkが有理数よりk^2は有理数。
k^2が有理数よりk^2-9は有理数。
k^2-9が有理数より(k^2-9)/(-2)は有理数。
ただし√14は無理数なので矛盾している。
よって(ア)の仮定自体が矛盾していることから背理法より√2-√7は無理数である。