Question

tkhsre

この問題の(i)からなぜ、－3<a<2のときで場合分けするのか、なぜa≧2のときで場合分けするのか、なぜa≦－3で場合分けするのか、分かりません。教えてください🙏

練習
0111 1つ存在するように, 定数aの値の範囲を定めよ。
xについての2つの2次不等式x-2x-8<0, x"+(a-3)xー3az0を同時に満たす整数がただ
x°-2x-8<0を解くと,(x+2)(x-4)<0から
HINT 第2式から
(x+a)(x-3)20
-2<x<4
の
-a, 3 の大小関係に注
目して場合を分け, 数直
線を用いる。
よって,①を満たす整数は
次に,x?+(a-3)x-3a20を解くと,(x+a)(x-3)20から
ーa<3 すなわち a>-3のとき x<-a, 3<x… 2
-a=3 すなわち a=-3のとき すべての実数
-a>3 すなわち a<-3のとき x<3, -amx
ゆえに,整数x=3 は, aの値に関係なくx°+(a-3)x-3a20
を満たすから,2つの不等式を同時に満たす整数がただ1つ存
在するならば, その整数は x=3 である。
[1] a>-3 の場合
x=-1, 0, 1, 2, 3
そこの段階でa=-3 は
不適であることがわかる。
3
STI

(i) -3<a<2のとき, ①と②の共通範囲は
-2<xS-a, 3Sx<4
求める条件は,-2<x<-aを
満たす整数xが存在しないこと
である。
T ケ
さ 。
も300- [s
-2
ふむり
x
34
-21-1
ーa
0>
よって -a<-1 すなわち a>1
-3<a<2であるから
こる(i) a22のとき, ① と②の共通範囲は
そ-aS-1とすると,
x=-1 も共通の整数解
となるから 誤り!
1<a<2
3Sx<4
3ミx54を満たす整数は x=3のただ1つである。
ミ3
[2]aS-3の場合
0>
aがこの範囲のどんな値をとっても, -2<x3は, ① と③
の共通範囲である。
-2<x<3を満たす整数は
そ0と3の共通範囲は
-4<as-3のとき
-2<xS3,
三ハ×<4
x=-1, 0, 1, 2, 3
-2 -1 0 1234
aS-4のとき
x
の5個あるから,この場合は不適。
[1], [2] から, 条件を満たすaの値の範囲は a>1
-2<x<3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

aporon

a≦-3と-3<aで(x+a)(x-3)≧0の解がどう変化するか考えましょう

tkhsre

１では、-aが①の範囲の中のある場合と外にある場合で分けてるのですか？

aporon

この場合分けの基本は、(x+a)(x-3)≧0という不等式がどのような解をもつかが鍵になります

最初のパターンでは、-a<3のとき
このとき、２つの二次不等式の解の共通範囲に整数が１つもない状況をつくればいいわけですね

tkhsre

それは解答を読んでも理解出来たんですが、なぜa>1だけじゃダメなんですか？

aporon

-a<3という条件が無ければ、a>1になるという議論すらできませんよ

tkhsre

それは分かります。その条件があるからa>1が求められたから、最後にこの範囲と条件との共通範囲を求めれば良いのですか？

aporon

ですね

3つのパターンで場合分けしたら最後には、どれかに含まれてればいいから、和集合ですね

tkhsre

3つのパターンとはどれですか？
また、まだ数Aをやってないので、和集合が分かりません、。

aporon

-a<3
-a=3
-a>3

和集合については、ご自身で調べてください

tkhsre

-a<3で場合分けしようとしたら、－aがどの位置にあれば良いか分からないんですが、こうゆう時は－2<x<4に含むか含まないかでまた場合分けする必要があるということですか？

aporon

-a<3で場合分けする→(x+a)(x-3)≧0の解がx≦-a,3≦xになります→後は、-2<x<4とx≦-a,3≦xの共通範囲に整数が含まれないようにaの値を決める

tkhsre

これでいいですかね？

aporon

あとは、-3<a<2との共通範囲考えればいいですね

tkhsre

その-3<a<2という範囲はどうやって求めれば分かります？

aporon

多分、写真に写っていないところにその説明があるかと思いますよ

tkhsre

右側探しても載ってませんでした、、。

aporon

右側じゃなくて、[1] a>-3の場合の下ですかね

tkhsre

-3<a<2の求め方は載ってないです、。

aporon

なるほど
a<2だと、不等式が3≦x<4以外にも共通範囲をもつことから場合分けしているのでしょう

tkhsre

なるほど！分かってきました！
a>1という答えにするには、1<a<2とa≧2を合わせた範囲を求めれば良いのですよね？

aporon

ですね！！

tkhsre

やっとわかりました。ありがとうございます！