Question

@??

f”′まで調べる必要はありますか？

証明〉
すべての xN0 について,x-
x3
SsinxSx
6
x3
+ が成り立つことを示せ。
x5
6
120
[08 福島県立医大 医
{a). sma -(ス-)とかく
9

(x)= sinx-(xー)とおき,/(x)の増滅を調べる。 f'(x)= cosx-1+号
233 〈不等式の証
ニ
「(x)=sinx-
やけでは
からないので, さらにf"(x), "(x) を調べる。
S(x)= sinx
ォ-(x-)とおく。
f"(x)= -sinx+x,
S(x)= cosx-1+
2
p"(x)= -cosx+1
よって,x20 のとき f"(x)20 より, f"(x) は単調に増加し、
f"(0) = 0 であるから
ゆえに,x20 のときf(x) は単調に増加し,'(0) =D1-1=0 であ
やx20 のとき、
ーCOS xる-1である。
f"(x)20
- cos x+120
よって "(x)と
るから
S(x)20
したがって, x0 のときf(x)は単調に増加し, f(0) =0 であるか
S(x)20
ら
x3
以上より,x20 のとき
sinx2x
6
の
g(x)=x
-sinx とおく。
120
6
x3
x?, x4
24
.2
9(x)=1-
-COS x, g"(x) = ーx+
6
2
x20 のとき, ①より
よって, x20 のときg'(x) は単調に増加し, g'(0) =D1-1=0 である
g'(x)20
g"(x)20
*g"(x) = -x+3
から
= sinx-
したがって,x20 のとき g(x) は単調に増加し, g(0) =0 であるか
9(x)20
= f(x)
f(x)20 は上
ら
る。
x3
x-
6
5
以上より,x20 のとき
x°
2sinx
120
2
a.のより ェーデェsiaxsxー
0, 2
S sinxSx
6
-
x
5
6
120

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

peekAboo

f'''(x)を考えるのは、-sinx+x>=0を証明するためです。

他の方法で-sinx+x>=0が証明できれば、
f'''(x)を求める必要はありません。

@??

解答ありがとうございます！
下のようにf”（x）にx＝0を代入して考えたのですがこれではダメでしょうか？

peekAboo

f''(0)=0
ではx=0の時にf''(x)>=0であることは確認できますが、
それ以降のxについて、f''(x)>=0が成立することは保証できません。

g''(0)=0でもg''(1)=-1となる関数も存在しますよね？

peekAboo

添付頂いた回答については、
2行目の不等式
f"(x)>=f"(0)
が成立する事をまず証明しなければなりません。

@??

ありがとうございます、わかってきました！
ですがさらにお聞きしたいのですが、f”′（x）が0以上であることを示すためにf”′（x）にx＝0を代入するということも、それ以降のXについては保証できない
わけではないのでしょうか、？
長くなってしまいすみません🙇‍♀️

peekAboo

f'''（x）=-cos(x)+1
については、
f'''(0)を使って、f'''(x)>=0を導いているのではなく

cos(x)の値域
-1<=cos<=1
から
0<=f'''(x)<=2
となっています。

P.S.
自分で頭を使って考えていれば、進ほどに新たな疑問点が沸いてくるものです。
なあなあにせずに、きちんと確認するのは良い習慣だと思いますよ(^^)

@??

よく分かりました！！！
丁寧に答えてくださりありがとうございました、助かりました🙇‍♀️🙇‍♀️